Warum darf man nicht aus der Summe kürzen ?

05.10.2019, 08:01

L5o14

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Warum darf man nicht aus der Summe kürzen ?

Meine Frage:
Hallo ;
mein Lehrer hatte unserer Klasse ein mal einen Spruch ? aus der Summe kürzt der Dumme? verraten ; um uns einzuprägen , dass man beispielsweise in einem Bruch , in dessen Nenner c steht und im Zähler a+c , die Variable c nicht kürzen darf , sondern erst den Zähler zusammenfassen muss .
Meine Frage ist , wieso genau die Kürzung von c zu einem falschen Ergebnis führt , also wie man diese Regel hergeleitet hat . Natürlich kann man das mit dem Taschenrechner überprüfen , aber ich glaube , dass man auch so darauf kommen kann , dass das falsch ist .

Vielen Dank schon mal !

Meine Ideen:
Eigentlich sollte ja die Regel Punkt vor Strich gelten , aber ich glaube ein Bruch symbolisiert quasi , dass um a+c eine Klammer steht und man deshalb die Division mit c noch nicht durchführen darf . So war meine Überlegung bis jetzt .

05.10.2019, 09:09

hawe

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RE: Warum darf man nicht aus der Summe kürzen ?
Weil
$\begin{eqnarray*} \frac{a+c}{c}=\frac{a}{c}+ \frac{c}{c} \end{eqnarray*}$
ist

05.10.2019, 09:27

Leopold

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@ L5o14

Nicht wer eine Regel bestreitet, muß dies begründen, sondern wer eine Regel aufstellt. Du stellst sozusagen die Regel auf: Ich will bei einem Bruch gemeinsame Summanden in Zähler und Nenner wegstreichen. Jetzt mußt du begründen, warum das richtig ist.

Natürlich kannst du diese Regel nicht begründen, weil sie falsch ist. Und das ist wiederum leicht zu begründen. Man muß es nur einmal an einem konkreten Zahlenbeispiel nachprüfen.

05.10.2019, 09:29

G051019

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RE: Warum darf man nicht aus der Summe kürzen ?
Zahlenbeispiel:

(9+3)/3= 12/3 =4 = 9/3+3/3 = 3+1=4

aber:
(9*3)/3 = (9*1)/1 = 9

05.10.2019, 11:58

klauss

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RE: Warum darf man nicht aus der Summe kürzen ?
Der Spruch ist ja mehr eine launige Merkhilfe, um Schüler von verlockendsten Fehlern abzuhalten. Dass der "Schlaue" sehr wohl aus Summen kürzt, wenn die Voraussetzungen vorliegen und er sie erkennt, zeigt dieses Beispiel.

Zitat:

Original von L5o14
Eigentlich sollte ja die Regel Punkt vor Strich gelten , aber ich glaube ein Bruch symbolisiert quasi , dass um a+c eine Klammer steht und man deshalb die Division mit c noch nicht durchführen darf .

Das mangelnde Bewußtsein der Klammerwirkung eines Bruches bzw. dass der Bruchstrich eine Punktrechnung verkörpert, führt weiter dazu, dass z. B. häufig sowas nicht erkannt wird:
$\begin{eqnarray*} \frac{-a+b}{c-b} =-\frac{a-b}{c-b} =\frac{a-b}{b-c} \end{eqnarray*}$

05.10.2019, 12:25

Leopold

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RE: Warum darf man nicht aus der Summe kürzen ?

Zitat:

Original von klauss
Dass der "Schlaue" sehr wohl aus Summen kürzt, wenn die Voraussetzungen vorliegen und er sie erkennt, zeigt dieses Beispiel.

Zum Kürzverbot bei Summen in Zähler oder Nenner, die Variablen enthalten, gibt es keine Ausnahme. Auch das Beispiel, auf das du verweist, zeigt gerade nicht, daß man in Summen kürzen darf. Vielmehr werden dort alle Anstrengungen unternommen, um die Summe im Zähler in ein Produkt zu verwandeln, so daß Kürzen möglich wird.

Auch bei konkreten Zahlenbeispielen funktioniert das außer im trivialen Fall wie etwa

$\begin{align*} \frac{5+8}{5 + 8} = \frac{8}{8} \end{align*}$

nie.

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05.10.2019, 12:29

Dopap

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Ist der Zähler eine Summe darf man schon distributiv dividieren. Nur ist die Frage ob man das als Kürzen bezeichnen darf/soll wenn etwas nicht "aufgeht".

$\begin{eqnarray*} \frac {a+b}{b}=\frac ab+1 \end{eqnarray*}$

05.10.2019, 12:38

Huggy

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RE: Warum darf man nicht aus der Summe kürzen ?

Zitat:

Original von L5o14
Warum darf man nicht aus der Summe kürzen ?

Ganz einfach: Weil man dann der Dumme ist!!! Big Laugh

Big Laugh

05.10.2019, 12:43

Leopold

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@ Dopap

Unter Kürzen versteht der gemeine Schüler: Weglassen von Übereinstimmendem. Bei deinem Beispiel also

$\begin{align*} \frac{a+b}{b} = \frac{a+\cancel{b}}{\cancel{b}} = \frac{a}{1} \end{align*}$

Das Rätsel, warum dann im Nenner 1 übrigbleibt, kann der gemeine Schüler auch lösen: Immer, wenn alles weggekürzt wird, bleibt 1 übrig. So haben wir's im Unterricht gemacht.

05.10.2019, 12:46

klauss

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Zitat:

Original von Dopap
distributiv dividieren

Guter Zusatz.
Wenn man partout aus Summen nicht "kürzen" will, könnte man das gelungene Kürzen ohne förmlichen Zwischenschritt im Beispiel dann z. B. umschreiben als "Selektives Streichen von Bestandteilen unfaktorisierter Summen" o. ä.

05.10.2019, 13:41

rumar

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RE: Warum darf man nicht aus der Summe kürzen ?
Hallo Leopold,

man kann schon auch etwas "weniger triviale" Beispiele konstruieren, zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \qquad \frac{3 + 1.5}{1.5}\ =\ 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \qquad \frac{1.2 + 6}{6}\ =\ 1.2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \qquad \frac{1.04 + 26}{1.04}\ =\ 26 \end{eqnarray*}$

05.10.2019, 14:39

Leopold

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Ich habe mich bei meinem Beispiel offensichtlich auf Summen mit zwei Summanden in Zähler und Nenner bezogen. Natürlich kann man jetzt bei jedem Sonderfall nach Einzelfällen suchen, wo es klappt (übrigens eine nette Aufgabe für eine Schülerpräsentation: "Wann führt falsches Kürzen zu richtigen Ergebnissen?"). Bei der von dir vorgelegten Struktur geht es um $\begin{align*} \frac{x+y}{y} = x \end{align*}$ , was für $\begin{align*} y \neq 0 \end{align*}$ zu $\begin{align*} (x-1)(y-1) = 1 \end{align*}$ äquivalent ist. Für ganze Zahlen $\begin{align*} x,y \end{align*}$ geht das nur, wenn $\begin{align*} x-1 \end{align*}$ und $\begin{align*} y-1 \end{align*}$ Teiler von 1 sind, also für $\begin{align*} 1 \cdot 1 = 1 \end{align*}$ , das heißt $\begin{align*} x=2,\, y=2 \end{align*}$ (der Fall $\begin{align*} (-1) \cdot (-1) = 1 \end{align*}$ entfällt, da dann $\begin{align*} y=0 \end{align*}$ sein müßte). Das einzige gültige Beispiel mit ganzen Zahlen ist in der Tat

$\begin{align*} \frac{2+2}{2} = 2 \end{align*}$

Wenn man rationale Zahlen zuläßt, gibt es natürlich mehr Beispiele, alle rationalen Punkte $\begin{align*} (x,y) \neq (0,0) \end{align*}$ auf der Hyperbel $\begin{align*} (x-1)(y-1)=1 \end{align*}$ , das sind die Punkte

$\begin{align*} (x,y) = \left( 1 + \frac{1}{t} \, , \, 1 + t \right) \, , \ \ t \in \mathbb{Q} \setminus \{ 0, -1 \} \end{align*}$

Deine Beispiele erhält man für $\begin{align*} t = \frac{1}{2} , \, t = 5 , \, t = 25 \end{align*}$ .

06.10.2019, 06:35

Dopap

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Zitat:

Original von Leopold
...
Das Rätsel, warum dann im Nenner 1 übrigbleibt, kann der gemeine Schüler auch lösen: Immer, wenn alles weggekürzt wird, bleibt 1 übrig. So haben wir's im Unterricht gemacht.

genau, das und vieles mehr hat mir reichlich und zahlungskräftige Kundschaft besorgt. Bei der Schreibfigur

$\begin{eqnarray*} b^{-1}\cdot (b+a )\quad oder \quad \tfrac 1b\,(b+a) \end{eqnarray*}$ ist dann erstaunlicherweise ( meistens) wieder alles im Lot.

Beim Spruch Konstanten fallen beim Ableiten weg
war aber dann 0.50 € für die Kaffeekasse fällig Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.10.2019, 09:22

Bürgi

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Guten Morgen,

wenn man die "Dummheit" zu einer milden Form des Irreseins steigern möchte, könnte man natürlich auch so kürzen

$\begin{eqnarray*} \frac{1\cancel{6}}{\cancel{6}4} = \frac14 \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} \frac{19}{95} = \frac15 \end{eqnarray*}$

Anmerkung: Es gibt leider nur 5 solche Brüche mit zweistelligen Zählern und Nennern.

06.10.2019, 14:22

Leopold

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Unvergeßlich ist mir eine Begebenheit, die mir als ganz junger Lehrer widerfuhr. Thema waren Bruchterme (das hat man damals in der 8. Klasse tatsächlich noch als eigenständiges Thema behandelt, heute kommt das im Lehrplan nicht mehr vor, keiner kann das mehr, vermutlich nicht mal mehr die jungen Kollegen). Man hat faktorisiert, gekürzt, erweitert, addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert, bis sich quietschend die Balken bogen. Irgendwann fragte dann eine Schülerin, nachdem ihr etwas aufgefallen war: "Herr Müllermeierschulze, wenn man also alles wegkürzt, bleibt 1 übrig?" Und ich: "Klar, dann bleibt 1 übrig."

Dann kam die Klassenarbeit. Ohne Arglist, nichtsahnend, stellte ich eine Aufgabe der folgenden Art:

Addiere die Brüche und vereinfache: $\begin{align*} \frac{1}{x-y} - \frac{x+y}{x^2-y^2} \end{align*}$

Und fleißig rechneten meine Schüler, wie sie es gelernt hatten:

$\begin{align*} \frac{1}{x-y} - \frac{x+y}{x^2-y^2} = \frac{x+y}{(x-y)(x+y)} - \frac{x+y}{(x-y)(x+y)} = \frac{\cancel{x+y}-\cancel{(x+y)}}{(x-y)(x+y)} = \frac{1}{(x-y)(x+y)} \end{align*}$

Damals habe ich noch nicht verstanden, was da passiert war. Eines war mir allerdings sofort klar: Eine Regel "So ist es immer" wird es von mir nicht mehr geben. Heute ist mir klar: Die meisten Menschen denken nicht inhaltlich, sondern formal. Sie möchten ein Rezept haben, statt sich mit der Sache selbst zu beschäftigen. Im tiefsten ist das auch verständlich: Im Sinn des geringstmöglichen Energieaufwands sucht man nach einfachen, allgemein gültigen Erklärungen, statt sein Gehirn zu aktivieren, um die Sache selbst zu durchdringen.

06.10.2019, 15:05

rumar

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Na, das war ja ein tolles "Eigentor" !

06.10.2019, 16:59

Dopap

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vielleicht hättest du

Vereinfache und addiere die Brüche : $\begin{align*} \frac{1}{x-y} - \frac{x+y}{x^2-y^2} \end{align*}$

schreiben sollen. smile

smile

06.10.2019, 17:50

Leopold

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Auch das funktioniert bestens:

$\begin{align*} \frac{1}{x-y} - \frac{x+y}{x^2-y^2} = \frac{1}{x-y} - \frac{x+y}{(x-y)(x+y)} = \frac{1}{x-y} - \frac{1}{x-y} = \frac{1-1}{x-y} = \frac{\cancel{1}-\cancel{1}}{x-y} = \frac{1}{x-y} \end{align*}$

Glaubst du, jemand, der nur formal denkt und sich an den Lehrerspruch "Wenn sich alles wegkürzt, ja, dann bleibt 1 übrig" erinnert, hat da irgendwelche Hemmungen?

15.10.2019, 19:27

Mathema

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Zitat:

Original von Leopold
Thema waren Bruchterme (das hat man damals in der 8. Klasse tatsächlich noch als eigenständiges Thema behandelt, heute kommt das im Lehrplan nicht mehr vor, keiner kann das mehr, vermutlich nicht mal mehr die jungen Kollegen).

Mal schauen, was dort als Therapie beschlossen wird:

https://www.ipn.uni-kiel.de/de/das-ipn/v...KFlyer_2019.pdf

Man darf gespannt sein.

15.10.2019, 21:33

Iorek

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Zitat:

Original von Mathema
Man darf gespannt sein.

Hmm, ich erwarte mal pessimistisch nicht all zuviel. Solange die Fachdidaktik an ihrem Kompetenzgehabe festhält und keine Diskussionen über Inhalte zulässt, der Taschenrechner als herausragendes Werkzeug den Mathematikunterricht dominiert und das Ziel das bestmögliche Abschneiden in irgendwelchen hanebüchenen Vergleichstests wie PISA bleibt, wird das Problem weiterhin bestehen.

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