Beweis Stetigkeitssatz von Kolmogorov-Chentsov

05.10.2019, 08:41

Nevax

Beweis Stetigkeitssatz von Kolmogorov-Chentsov

Hallo Freunde,

ich beschäfftige mich gerade mit dem oben genannten Satz und an einer Stelle komm ich zum Teufel nicht auf die Begründung. Es ist sicherlich was ganz banales.

Der Teil des Beweises ist als Bild unten angehangen.

Es geht dabei um die beiden Ungleichungen ganz zum Schluss $\begin{eqnarray*} s_+ - s \leq 2^{-M} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t - t_- \leq 2^{-M} \end{eqnarray*}$ . Definiert ist die Menge $\begin{eqnarray*} D_n := \lbrace k \cdot 2^{-n} : k=0,1,2,...,2^n \rbrace \end{eqnarray*}$ .

Zuerst habe ich gedacht, dass in der Behauptung statt $\begin{eqnarray*} 2^{-n} \end{eqnarray*}$ eher $\begin{eqnarray*} 2^{-M} \end{eqnarray*}$ stehen müssten, denn dann gilt ja $\begin{eqnarray*} s_+ - s \leq t-s \leq 2^{-M} \end{eqnarray*}$ . Aber damit liege ich falsch.

Vielen Dank schon mal!

05.10.2019, 09:41

IfindU

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RE: Beweis Stetigkeitssatz von Kolmogorov-Chentsov
Wir haben $\begin{eqnarray*} s \in D_M \end{eqnarray*}$ , d.h. es existiert $\begin{eqnarray*} k_s \in \{ 0,1,2, \ldots, 2^M\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s = k_s 2^{-M} \end{eqnarray*}$ . Analog $\begin{eqnarray*} s_+ \end{eqnarray*}$ existiert $\begin{eqnarray*} k_{s_+} \in \{0, 1,2, \ldots 2^{M-1}\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s_+ = k_{s_+} 2^{-M+1} = 2 k_{s_+} 2^{-M} \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} k_{s_+} \end{eqnarray*}$ so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} 2 k_{s_+} 2^{-M} = s_+ \geq s > 2 (k_{s_+}-1) 2^{-M} \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} 2(k_{s_+} -1) 2^{-M} = s_+ - 2^{-M} \end{eqnarray*}$ kann man mit $\begin{eqnarray*} s_+ \geq s \geq s_+ - 2^{-M} \end{eqnarray*}$ die gewünschte Ungleichung herleiten. Analog mit $\begin{eqnarray*} t_- \end{eqnarray*}$ .

05.10.2019, 18:57

Nevax

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RE: Beweis Stetigkeitssatz von Kolmogorov-Chentsov
So ähnlich habe ich das auch schon probiert. Allerdings kann ich dir die letzte Gleichheit noch nicht abkaufen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \ 2(k_{s_+} -1) 2^{-M} = s_+ - 2^{-M} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ 2(k_{s_+} -1) 2^{-M} = s_+ -2^{-M+1} \neq s_+ - 2^{-M} \end{eqnarray*}$ .

Also mit einer kleinen Verbesserung sollte es doch als Lösung reichen $\begin{eqnarray*} s_+ - 2^{-M} = (2k_{s_+} -1) 2^{-M} \geq 2(k_{s_+}-1)2^{-M} \end{eqnarray*}$

Danke dir!

05.10.2019, 22:00

IfindU

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RE: Beweis Stetigkeitssatz von Kolmogorov-Chentsov

Zitat:

Original von Nevax
So ähnlich habe ich das auch schon probiert. Allerdings kann ich dir die letzte Gleichheit noch nicht abkaufen.

Zu Recht nicht. War auch falsch.

Übrigens etwas Anschauung zu der Ungleichung: Angenommen du hast ein grobes Gitter mit $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ gleichverteilten Punkten auf einem reellen Intervall. Dann kann man dazu ein feines Gitter konstruieren, indem man zwischen je Punkte auf dem groben Gitter zusätzlich einen weiteren Punkt in die Mitte legt.

Die Frage hier ist dann: was ist die beste Approximation eines Punktes auf dem feinen Gitter durch Punkte auf dem groben Gitter? Wenn der "feine" Punkt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch auf dem groben Gitter liegt, dann offenbar ist es der Punkt selbst. Ansonsten ist er in der Mitte zweiter Punkte auf dem groben Gitter. Diese beiden Randpunkte sind die Nachbarn von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im feinen Gitter. Der Abstand zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist also der Abstand im feinen Gitter.

Bei dir ist der Abstand im feinen Gitter $\begin{eqnarray*} D_{M} \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} 2^{-M} \end{eqnarray*}$ , und daher folgt die Aussage.

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