Lösung einer DGL

05.10.2019, 13:51

georg2000

Lösung einer DGL

Hallo es geht um die DGl : $\begin{eqnarray*} 4y'^3 = 27(y - xy' )^2 \end{eqnarray*}$ . Man möchte wissen ob die Funnktion
$\begin{eqnarray*} g: R->R \end{eqnarray*}$ für die gilt $\begin{eqnarray*} g(x)=3x+1 ; x\le -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=x^3 ;x>-1 \end{eqnarray*}$
eine Lösung der Differentialgleichung ist .
Generell weiß ich , ich muss die Funktion ableiten , einsetzen und dann schauen ob eine wahre Aussage herauskommt.
Die Funktion ist aber abschnittweise definiert , kann ich sie dann abschnittsweise ableiten und die Ableitungen dann extra einsetzen ?
zb habe ich das gemacht für $\begin{eqnarray*} g(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ daraus dann $\begin{eqnarray*} g'(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$
und : $\begin{eqnarray*} 27(g-xg')^2=27(x^3-x*3x^2)^2=27(-2x^3)^2=27*4*x^6=4*3^3*(x^2)^3=4*(3x^2)^3=4g'^3 \end{eqnarray*}$

bzw für $\begin{eqnarray*} g(x)=3x+2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} g'(x)=3 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} 27(g-xg')^2=27*(3x+2-x*3)^2=27*(2)^2=27*4=4*3^3=4*g'^3 \end{eqnarray*}$

würde passen , wenn ich mich nicht verrechnet habe .
Darf ich es so machen?

05.10.2019, 14:29

Huggy

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RE: Lösung einer DGL

Zitat:

Original von georg2000
Man möchte wissen ob die Funnktion
$\begin{eqnarray*} g: R->R \end{eqnarray*}$ für die gilt $\begin{eqnarray*} g(x)=3x+1 ; x\le -1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

bzw für $\begin{eqnarray*} g(x)=3x+2 \end{eqnarray*}$

Ja was nun, $\begin{eqnarray*} g(x)=3x+1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(x)=3x+2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \leq -1 \end{eqnarray*}$ ?

Man kann das so machen. Man muss aber zusätzlich überprüfen, ob die angedachte Lösungsfunktion in dem angedachten Lösungsgebiet stetig und differenzierbar ist. Das ist also noch für den Punkt $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ zu prüfen.

05.10.2019, 14:45

georg2000

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RE: Lösung einer DGL

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von georg2000
Man möchte wissen ob die Funnktion
$\begin{eqnarray*} g: R->R \end{eqnarray*}$ für die gilt $\begin{eqnarray*} g(x)=3x+1 ; x\le -1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

bzw für $\begin{eqnarray*} g(x)=3x+2 \end{eqnarray*}$

es ist $\begin{eqnarray*} 3x+2 \end{eqnarray*}$ ich habe mich oben verschrieben , sry !

okay dann habe ich für $\begin{eqnarray*} x\le -1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} g(-1)=3*(-1)+2=-1 \end{eqnarray*}$
und für $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} g(-1)=(-1)^3=-1 \end{eqnarray*}$

bzw für $\begin{eqnarray*} x\le -1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} g'(-1)=3 \end{eqnarray*}$
und für $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} g'(-1)=3*(-1)^2=3 \end{eqnarray*}$

also stetig und stetig differenzierbar an der stelle $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$

hätte man es auch anders und einfacher machen können?
bzw hätte ich es umgekehrt machen können , und mir zuerst $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ anschauen können , falls dies dann nicht stetig bzw stetig differnzierbar wäre , könnte man schließen das die Funktion keine Lösung der DGL ist ?

05.10.2019, 15:55

Huggy

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RE: Lösung einer DGL

Zitat:

Original von georg2000
bzw für $\begin{eqnarray*} x\le -1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} g'(-1)=3 \end{eqnarray*}$
und für $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} g'(-1)=3*(-1)^2=3 \end{eqnarray*}$

also stetig und stetig differenzierbar an der stelle $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$

Das stimmt zwar, aber der Beweis stimmt so für die Differenzierbarkeit nicht ganz. Nimm mal an, es hätte oben tatsächlich $\begin{eqnarray*} g(x)=3x+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \leq -1 \end{eqnarray*}$ gestanden. Dann hättest du so auch geschlossen, dass die Funktion bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist. Das wäre sie aber nicht, weil sie ja dann dort unstetig wäre.

Zitat:

bzw hätte ich es umgekehrt machen können , und mir zuerst $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ anschauen können , falls dies dann nicht stetig bzw stetig differnzierbar wäre , könnte man schließen das die Funktion keine Lösung der DGL ist ?

Ja.
Die Funktion muss aber dort nur stetig und differenzierbar sein, wobei die Stetigkeit aus der Differenzierbarkeit folgt. Sie muss nicht stetig differenzierbar sein, d. h. die Ableitung muss nicht stetig sein.

05.10.2019, 17:42

georg2000

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RE: Lösung einer DGL
Achso es gilt ja aus Differenzierbarkeit an der stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ folgt Stetigkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$
das wäre dann ein Widerspruch , hast du recht !

Was fehlt jetzt genau bei der Differenzierbarkeit?
die Differenzierbarkeit der 2ten Ableitung , damit man von dieser aus Schließen kann das die erste Ableitung stetig ist ?also g stetig differenzierbar ist .

06.10.2019, 09:28

Huggy

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RE: Lösung einer DGL
Auch dein Nachweis der Stetigkeit ist so nicht korrekt. Zur Klarheit sei

$\begin{eqnarray*} g_1(x)=3x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_2(x)=x^3 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g(x)=g_1(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \leq -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=g_2(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$

Mit diesen Bezeichnungen sieht dein Nachweis der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ so aus:

$\begin{eqnarray*} g(-1)=g_1(-1)=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(-1)=g_2(-1)=-1 \end{eqnarray*}$

Nun gilt aber gemäß Definition von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ gar nicht $\begin{eqnarray*} g(-1)=g_2(-1) \end{eqnarray*}$ , sondern nur $\begin{eqnarray*} g(-1)=g_1(-1) \end{eqnarray*}$ . Also ist die letzte Gleichung so erst mal unzulässig. Aber man könnte die Definition von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ abändern in

$\begin{eqnarray*} g(x)=g_2(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt hat man $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ auf zwei verschiedene Arten definiert, was man eigentlich nicht machen sollte. Das schadet aber hier nicht, weil ja $\begin{eqnarray*} g_2(x) \end{eqnarray*}$ an dieser Stelle gerade den Wert hat, der sich aus der Definition über $\begin{eqnarray*} g_1(x) \end{eqnarray*}$ ergibt. Jetzt kann man die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ mit der linksseitigen Stetigkeit mittels $\begin{eqnarray*} g_1(x) \end{eqnarray*}$ und der rechtsseitigen Stetigkeit mittels $\begin{eqnarray*} g_2(x) \end{eqnarray*}$ begründen. Ebenso kann man jetzt die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ über die linkseitige Differenzierbarkeit mittels $\begin{eqnarray*} g_1(x) \end{eqnarray*}$ und die rechtsseitige Differenzierbarkeit mittels $\begin{eqnarray*} g_2(x) \end{eqnarray*}$ und der Übereinstimmung der beiden einseitigen Ableitungen begründen. Dann müsste man die Stetigkeit nicht mehr begründen, weil sie ja aus der Differenzierbarkeit folgt.

Wäre $\begin{eqnarray*} g_1(x)=3x+1 \end{eqnarray*}$ definiert gewesen, wäre die obige Änderung der Definition von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ nicht möglich, weil dann $\begin{eqnarray*} g_1(-1) \neq g_2(-1) \end{eqnarray*}$ wäre.

Alternativ zu dieser zulässigen Abänderung der Definition von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ könnte man für die rechtsseitige Stetigkeit und Differenzierbarkeit die Definitionen von Stetigkeit und Differenzierbarkeit benutzen.

06.10.2019, 11:38

georg2000

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RE: Lösung einer DGL
"Alternativ zu dieser zulässigen Abänderung der Definition von g(x) könnte man für die rechtsseitige Stetigkeit und Differenzierbarkeit die Definitionen von Stetigkeit und Differenzierbarkeit benutzen."

Meinst du die Definition über die Links und Rechtsseitigen Grenzwerte? also das selbe was ich gemacht habe nur mit Grenzwerten?

https://de.serlo.org/mathe/funktionen/ue...keit-nachweisen

wenn ja ; dann könnte ich den rechtsseitigen grenzwert Bilden und muss dann nicht die Definition abändern?

06.10.2019, 13:06

Huggy

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RE: Lösung einer DGL

Zitat:

Original von georg2000
Meinst du die Definition über die Links und Rechtsseitigen Grenzwerte? also das selbe was ich gemacht habe nur mit Grenzwerten?

https://de.serlo.org/mathe/funktionen/ue...keit-nachweisen

Ja, wobei man den linken Grenzwert nicht unbedingt bilden muss, denn die linke Teilfunktion ist ja an der zu untersuchenden Stelle definiert und als stetige Funktion dort natürlich linksseitig stetig.

Zitat:

wenn ja ; dann könnte ich den rechtsseitigen grenzwert Bilden und muss dann nicht die Definition abändern?

Ja.

06.10.2019, 14:27

georg2000

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RE: Lösung einer DGL
okay um nochmal zusammenzufassen :
Zunächst stellt man fest, daß die Gesamtfunktion stetig ist.
Dann überprüft man auf Differenzierbarkeit, wobei es im wesentlichen nur auf die Stelle x = - 1 ankommt, wo die Teilfunktionen "aneinanderstoßen".
Beweisen soll man, daß die Funktion an dieser stelle keinen Knick hat, nur dann ist sie als Lösung der DGl zugelassen oder?

ich habe dann:
$\begin{eqnarray*} g_1(-1)=3*(-1)+2=-1 \end{eqnarray*}$ was dem Limes von g1 gegen x=-1 gleicht .
$\begin{eqnarray*} lim x->-1 x^3=(-1)^3=-1 \end{eqnarray*}$ also ist die Funktion stetig an der Stelle x=-1

bzw für die DB:
$\begin{eqnarray*} g_1'(-1)=3 \end{eqnarray*}$ was dem Limes von $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ gegen x=-1 gleicht .
$\begin{eqnarray*} lim x->-1 3x^2=3(-1)^2=3 \end{eqnarray*}$ also ist diefunktion stetig differenzierbar auch an der stelle x=-1.

jetzt wäre sie als Lösung zugelassen und ich könnte einsetzen und nachrechnen wie im obersten Beitrag?

06.10.2019, 16:25

Huggy

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RE: Lösung einer DGL
Soweit richtig, aber das folgende passt noch nicht.

Zitat:

Original von georg2000
bzw für die DB:
$\begin{eqnarray*} g_1'(-1)=3 \end{eqnarray*}$ was dem Limes von $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ gegen x=-1 gleicht .
$\begin{eqnarray*} lim x->-1 3x^2=3(-1)^2=3 \end{eqnarray*}$ also ist diefunktion stetig differenzierbar auch an der stelle x=-1.

Man muss zeigen, dass die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ existiert. Man muss nicht zeigen, dass sie stetig ist. Dazu zeigt man, das die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung existieren und dass diese gleich sind.

Die linksseitige Ableitung existiert gemäß der Definition von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} g'_l(-1)=g'_{1,l}(-1)=3 \end{eqnarray*}$

Für die rechtsseitige Ableitung benutzt man die Definition der Ableitung:

$\begin{eqnarray*} g'_r(-1)=\lim_{x \searrow -1} \frac {g(x)-g(-1)}{x-(-1)}=\lim_{x \searrow -1} \frac {g_2(x)-(-1)}{x-(-1)}=\lim_{x \searrow -1} \frac {g_2(x)-g_2(-1)}{x-(-1)}=g'_{2,r}(-1)=3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

jetzt wäre sie als Lösung zugelassen und ich könnte einsetzen und nachrechnen wie im obersten Beitrag?

Ja.

06.10.2019, 18:23

georg2000

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RE: Lösung einer DGL
okay nur noch eine Frage :
Warum muss man nur Zeigen das die Ableitung existiert und kann Stetigkeit hier vernachlässigen?
Wenn die Ableitung existiert an dem Punkt , ist die Ableitungsfunktion an dem Punkt dann auch an dem Punkt stetig? bzw wie hängt das zusammen.
Danke dir auf jeden Fall , auch beim anderen Bsp !

06.10.2019, 18:48

Huggy

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RE: Lösung einer DGL

Zitat:

Original von georg2000
Warum muss man nur Zeigen das die Ableitung existiert und kann Stetigkeit hier vernachlässigen?

Die Differentialgleichung verlangt nur die Existenz der Ableitung. Darin ist nicht enthalten, dass sie stetig sein muss. In den meisten Beispielen wird das trotzdem der Fall sein.

Zitat:

Wenn die Ableitung existiert an dem Punkt , ist die Ableitungsfunktion an dem Punkt dann auch an dem Punkt stetig? bzw wie hängt das zusammen.

Eine Funktion kann in einem Punkt differenzierbar sein, ohne dass die Ableitung dort stetig ist. Eine klassisches Beispiel findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/ Differenz...eitunge<br /> n

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