Lösung einer DGL

Neue Frage »

georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung einer DGL
Hallo es geht um die DGl : . Man möchte wissen ob die Funnktion
für die gilt und
eine Lösung der Differentialgleichung ist .
Generell weiß ich , ich muss die Funktion ableiten , einsetzen und dann schauen ob eine wahre Aussage herauskommt.
Die Funktion ist aber abschnittweise definiert , kann ich sie dann abschnittsweise ableiten und die Ableitungen dann extra einsetzen ?
zb habe ich das gemacht für daraus dann
und :

bzw für ist
und

würde passen , wenn ich mich nicht verrechnet habe .
Darf ich es so machen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung einer DGL
Zitat:
Original von georg2000
Man möchte wissen ob die Funnktion
für die gilt


Zitat:
bzw für

Ja was nun, oder für?

Man kann das so machen. Man muss aber zusätzlich überprüfen, ob die angedachte Lösungsfunktion in dem angedachten Lösungsgebiet stetig und differenzierbar ist. Das ist also noch für den Punkt zu prüfen.
 
 
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung einer DGL
Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von georg2000
Man möchte wissen ob die Funnktion
für die gilt


Zitat:
bzw für

Ja was nun, oder für?

Man kann das so machen. Man muss aber zusätzlich überprüfen, ob die angedachte Lösungsfunktion in dem angedachten Lösungsgebiet stetig und differenzierbar ist. Das ist also noch für den Punkt zu prüfen.


es ist ich habe mich oben verschrieben , sry !

okay dann habe ich für
und für

bzw für
und für

also stetig und stetig differenzierbar an der stelle

hätte man es auch anders und einfacher machen können?
bzw hätte ich es umgekehrt machen können , und mir zuerst anschauen können , falls dies dann nicht stetig bzw stetig differnzierbar wäre , könnte man schließen das die Funktion keine Lösung der DGL ist ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung einer DGL
Zitat:
Original von georg2000
bzw für
und für

also stetig und stetig differenzierbar an der stelle

Das stimmt zwar, aber der Beweis stimmt so für die Differenzierbarkeit nicht ganz. Nimm mal an, es hätte oben tatsächlich für gestanden. Dann hättest du so auch geschlossen, dass die Funktion bei differenzierbar ist. Das wäre sie aber nicht, weil sie ja dann dort unstetig wäre.


Zitat:
bzw hätte ich es umgekehrt machen können , und mir zuerst anschauen können , falls dies dann nicht stetig bzw stetig differnzierbar wäre , könnte man schließen das die Funktion keine Lösung der DGL ist ?

Ja.
Die Funktion muss aber dort nur stetig und differenzierbar sein, wobei die Stetigkeit aus der Differenzierbarkeit folgt. Sie muss nicht stetig differenzierbar sein, d. h. die Ableitung muss nicht stetig sein.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung einer DGL
Achso es gilt ja aus Differenzierbarkeit an der stelle folgt Stetigkeit an der Stelle
das wäre dann ein Widerspruch , hast du recht !

Was fehlt jetzt genau bei der Differenzierbarkeit?
die Differenzierbarkeit der 2ten Ableitung , damit man von dieser aus Schließen kann das die erste Ableitung stetig ist ?also g stetig differenzierbar ist .
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung einer DGL
Auch dein Nachweis der Stetigkeit ist so nicht korrekt. Zur Klarheit sei





und

für

für

Mit diesen Bezeichnungen sieht dein Nachweis der Stetigkeit von bei so aus:





Nun gilt aber gemäß Definition von gar nicht , sondern nur . Also ist die letzte Gleichung so erst mal unzulässig. Aber man könnte die Definition von abändern in

für

Jetzt hat man bei auf zwei verschiedene Arten definiert, was man eigentlich nicht machen sollte. Das schadet aber hier nicht, weil ja an dieser Stelle gerade den Wert hat, der sich aus der Definition über ergibt. Jetzt kann man die Stetigkeit von bei mit der linksseitigen Stetigkeit mittels und der rechtsseitigen Stetigkeit mittels begründen. Ebenso kann man jetzt die Differenzierbarkeit von bei über die linkseitige Differenzierbarkeit mittels und die rechtsseitige Differenzierbarkeit mittels und der Übereinstimmung der beiden einseitigen Ableitungen begründen. Dann müsste man die Stetigkeit nicht mehr begründen, weil sie ja aus der Differenzierbarkeit folgt.

Wäre definiert gewesen, wäre die obige Änderung der Definition von nicht möglich, weil dann wäre.

Alternativ zu dieser zulässigen Abänderung der Definition von könnte man für die rechtsseitige Stetigkeit und Differenzierbarkeit die Definitionen von Stetigkeit und Differenzierbarkeit benutzen.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung einer DGL
"Alternativ zu dieser zulässigen Abänderung der Definition von g(x) könnte man für die rechtsseitige Stetigkeit und Differenzierbarkeit die Definitionen von Stetigkeit und Differenzierbarkeit benutzen."

Meinst du die Definition über die Links und Rechtsseitigen Grenzwerte? also das selbe was ich gemacht habe nur mit Grenzwerten?

https://de.serlo.org/mathe/funktionen/ue...keit-nachweisen

wenn ja ; dann könnte ich den rechtsseitigen grenzwert Bilden und muss dann nicht die Definition abändern?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung einer DGL
Zitat:
Original von georg2000
Meinst du die Definition über die Links und Rechtsseitigen Grenzwerte? also das selbe was ich gemacht habe nur mit Grenzwerten?

https://de.serlo.org/mathe/funktionen/ue...keit-nachweisen

Ja, wobei man den linken Grenzwert nicht unbedingt bilden muss, denn die linke Teilfunktion ist ja an der zu untersuchenden Stelle definiert und als stetige Funktion dort natürlich linksseitig stetig.

Zitat:
wenn ja ; dann könnte ich den rechtsseitigen grenzwert Bilden und muss dann nicht die Definition abändern?

Ja.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung einer DGL
okay um nochmal zusammenzufassen :
Zunächst stellt man fest, daß die Gesamtfunktion stetig ist.
Dann überprüft man auf Differenzierbarkeit, wobei es im wesentlichen nur auf die Stelle x = - 1 ankommt, wo die Teilfunktionen "aneinanderstoßen".
Beweisen soll man, daß die Funktion an dieser stelle keinen Knick hat, nur dann ist sie als Lösung der DGl zugelassen oder?

ich habe dann:
was dem Limes von g1 gegen x=-1 gleicht .
also ist die Funktion stetig an der Stelle x=-1

bzw für die DB:
was dem Limes von gegen x=-1 gleicht .
also ist diefunktion stetig differenzierbar auch an der stelle x=-1.

jetzt wäre sie als Lösung zugelassen und ich könnte einsetzen und nachrechnen wie im obersten Beitrag?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung einer DGL
Soweit richtig, aber das folgende passt noch nicht.

Zitat:
Original von georg2000
bzw für die DB:
was dem Limes von gegen x=-1 gleicht .
also ist diefunktion stetig differenzierbar auch an der stelle x=-1.

Man muss zeigen, dass die Ableitung von bei existiert. Man muss nicht zeigen, dass sie stetig ist. Dazu zeigt man, das die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung existieren und dass diese gleich sind.

Die linksseitige Ableitung existiert gemäß der Definition von :



Für die rechtsseitige Ableitung benutzt man die Definition der Ableitung:



Zitat:
jetzt wäre sie als Lösung zugelassen und ich könnte einsetzen und nachrechnen wie im obersten Beitrag?

Ja.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung einer DGL
okay nur noch eine Frage :
Warum muss man nur Zeigen das die Ableitung existiert und kann Stetigkeit hier vernachlässigen?
Wenn die Ableitung existiert an dem Punkt , ist die Ableitungsfunktion an dem Punkt dann auch an dem Punkt stetig? bzw wie hängt das zusammen.
Danke dir auf jeden Fall , auch beim anderen Bsp !
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung einer DGL
Zitat:
Original von georg2000
Warum muss man nur Zeigen das die Ableitung existiert und kann Stetigkeit hier vernachlässigen?

Die Differentialgleichung verlangt nur die Existenz der Ableitung. Darin ist nicht enthalten, dass sie stetig sein muss. In den meisten Beispielen wird das trotzdem der Fall sein.

Zitat:
Wenn die Ableitung existiert an dem Punkt , ist die Ableitungsfunktion an dem Punkt dann auch an dem Punkt stetig? bzw wie hängt das zusammen.

Eine Funktion kann in einem Punkt differenzierbar sein, ohne dass die Ableitung dort stetig ist. Eine klassisches Beispiel findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/ Differenz...eitunge<br /> n
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »