Limes Superior

05.10.2019, 14:59	lena-anna	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes Superior Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ eine Folge von reellen Zahlen. Man soll beweisen, dass $\begin{eqnarray} x_{n} \to 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ genau dann gilt, wenn sup $\begin{eqnarray} _{k \geq k} \|x_{n}\| \to 0 \end{eqnarray}$ Könntet ihr mir bitte helfen? Meine Ideen: Also für die "hin"-Richtung habe ich mir überlegt: Sei $\begin{eqnarray} x_{n} \to 0 \end{eqnarray}$ . Dann ist auch $\begin{eqnarray} -x_{n} \to 0 \end{eqnarray}$ . Denn ... (ich kürze mal ein bisschen ab. Wegen der Konvergenz von x_n und -x_n ist $\begin{eqnarray} \lim \end{eqnarray}$ sup $\begin{eqnarray} x_{n} = 0 = \lim \end{eqnarray}$ sup $\begin{eqnarray} -x_{n} \end{eqnarray}$ . Es folgt, dass $\begin{eqnarray} \lim \end{eqnarray}$ sup $\begin{eqnarray} \|x_{n}\| = 0 \end{eqnarray}$ . Würdet ihr das auch so ungefähr machen? Mir bereitet die Gegenrichtung Probleme. Könntet ihr mir ihr zur Hand gehen?
05.10.2019, 15:28	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Limes Superior Das ist schon richtig so, allerdings etwas umständlich. Wegen $\begin{eqnarray} x_n\to 0 \iff \|x_n\|\to 0 \end{eqnarray}$ hast du sofort $\begin{eqnarray} \lim \|x_n\|=0 \end{eqnarray}$ , also gilt das auch für den limsup. In der anderen Richtung gilt nach Voraussetzung $\begin{eqnarray} \limsup \|x_n\|= 0 \end{eqnarray}$ . Aus $\begin{eqnarray} \|x_n\|\geq 0 \end{eqnarray}$ bekommt man eine einfach Abschätzung für den liminf und zusammen dann die Konvergenz.
05.10.2019, 16:01	lena-anna	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Limes Superior Danke, das sind hilfreiche Ratschläge! Für die Gegenrichtung dann also: Sei $\begin{eqnarray} \lim \end{eqnarray}$ sup $\begin{eqnarray} x_{n} = 0 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \|x_{n}\| \geq 0 \end{eqnarray}$ , ist limsup = liminf = 0. Es folgt, dass $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ gegen 0 konvergiert. So ungefähr?
05.10.2019, 16:05	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Limes Superior Je nach Korrektor kann das reichen oder auch nicht. Etwas ausführlicher zu sein, kann am Anfang nicht schaden. Ich hätte geschrieben $\begin{eqnarray} 0\leq\liminf \|x_n\|\leq \limsup \|x_n\|=0 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} \liminf \|x_n\|=\limsup \|x_n\|=0 \end{eqnarray}$ , also existiert der Grenzwert und es ist auch $\begin{eqnarray} \lim \|x_n\|=0 \end{eqnarray}$
05.10.2019, 16:14	lena-anna	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Limes Superior Ja, deine Variante ist auf jeden Fall besser, werde das so machen, danke!

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