Polynome, wieso? |
| 05.10.2019, 15:34 | MATHEMATIK_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Polynome, wieso? Hallo, Man definiert: $X = (0,1,0,...) \in R[X]$ Aber wieso weißt man der Variablen X überhaupt einen Wert zu? Man könnte polynomiale Funktionen doch auch ohne eine solche Wertzuweisung definieren. Und f(x)g(x) = fg (x) würde ja erhalten bleiben. Analog die Addition. Also wieso weist man X überhaupt ein Polynom zu? Meine Ideen: Welcher Gedanke steckt dahinter? Was ist zu beachten? Man könnte doch auch zB $X = (0,0,...)$ sagen und die Konstruktion der polynomiale Funktionen ginge doch trotzdem auf. Denn für X setzt man später ja eh nur einen Wert ein..? |
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| 05.10.2019, 17:20 | rumar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Polynome, wieso? Ich denke, dass du zuerst einiges über den Zusammenhang sagen solltest, in dem sich das abspielen soll. Hinweis für alle, die hier reingucken: [URL]https://de.wikipedia.org/wiki/Polynomring#Der_Polynomring_R[X][/URL] Im Polynomring R[X] steht X einfach für die Variable, die man auch üblicherweise zur Darstellung von Polynomen wie etwa f(x) = 4 + 2x - x^3 + 5 x^5 benützt. In der abgekürzten Schreibweise würde man dieses Polynom so darstellen: f = (4, 2, 0, -1, 0 , 5 , 0, 0 , 0 ,.....) oder kurz f = (4, 2, 0, -1, 0 , 5) Das "Monom" x wird als {0, 1) geschrieben oder (0,1,0,0,0, ...) Natürlich könnte man sich bei der Darstellung auf die "vektorielle" Beschreibung durch die "nackte" Angabe der Koeffizientenfolgen beschränken. Die Darstellung mittels der Variablen X ist aber hilfreich, um den Schritt von den gewohnten Polynomen aus Algebra und Analysis zu den etwas abstrakteren Elementen des Polynomrings zu verdeutlichen. |
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| 06.10.2019, 15:33 | rumar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Polynome, wieso?
Die Elemente des Rings R[X] sind Polynome. X dient nur dazu, diese Polynome darzustellen, und man kann X mit einem Element, nämlich eben (0,1,0,0, ...) des Polynomrings, identifizieren. Diese Identifikation muss so sein, damit der hier verwendete Polynombegriff mit jenem der üblichen Algebra und Analysis übereinstimmt. Zur Verdeutlichung:
Nein, das passt nicht. Dem Element (0,0,...) des Rings R[X] entspricht das Nullelement des Rings. |
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| 07.10.2019, 22:34 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Polynome sind Polynome, und es gibt viele wichtige Sätze über Polynome in der Algebra, die für viele algebraische Theorien wichtig sind. Deshalb muss man sich mit Polynomen gut auskennen. Bevor man die Theorie der Polynome verstehen kann, muss man ganz schnell die Polynomfunktionen vergessen, die man in der Schule kennen gelernt hat. |
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