Reihe Konvergenz/Divergenz |
05.10.2019, 18:01 | Lottaaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Reihe Konvergenz/Divergenz Man soll bestimmen, ob die folgende Reihe konvergent oder divergent ist Meine Ideen: Ich glaube, die Reihe divergiert; mir fällt aber keine geeignte Minorante ein. Vielleicht ist dieses Kriterium hier auch fehl am Platz. Was meint ihr? Kann mir jemand helfen, bitte? |
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05.10.2019, 18:07 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz Für große k ist k-2 ungefähr dasselbe wie k, die Summanden sind also ungefähr so groß wie 1/k. |
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05.10.2019, 18:57 | Lottaaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz Danke für die Antwort! Und ja, hast recht! Aber ich kann die harmonische Reihe ja nicht als Minorante verwenden... Ich weiß also leider nicht ganz, worauf du hinauswillst |
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05.10.2019, 19:09 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz
und warum nicht? |
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05.10.2019, 19:21 | Lottaaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz Es ist doch Und für die Minorante müsste es doch andersherum sein ... Oder habe ich vielleicht gerade eine falsche Vorstellung davon, was eine Minorante ist? Das kann sehr gut sein |
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05.10.2019, 19:29 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz Zunächst brauchst du nicht für alle Reihenglieder eine passende Abschätzung nach unten, endlich viele Reihenglieder spielen keine Rolle. Dann muss es auch nicht die harmonische Reihe selbst sein, etwas vergleichbares reicht. Z.B gilt für große k die Abschätzung |
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05.10.2019, 20:16 | Lottaaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz Ach sooo, danke! Es ist für alle und somit für alle . Und da ist divergent (denn ) und somit unsere Minorante. Ich glaube, so müsste es passen. Was meinst du? |
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05.10.2019, 20:17 | Lottaaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz Ach sooo, danke! Es ist für alle und somit für alle . Und da ist divergent (denn ) und somit unsere Minorante. Ich glaube, so müsste es passen. Was meinst du? |
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05.10.2019, 20:19 | Lottaaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz Third time's a charm: Ach sooo, danke! Es ist für alle und somit für alle . Und da ist divergent (denn ) und somit unsere Minorante. Ich glaube, so müsste es passen. Was meinst du? |
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05.10.2019, 21:30 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz Ganz, ganz streng genommen ist das nicht die Minorante, weil die Abschätzung ja erst ab k=4 gilt. Aber das ist wirklich Haarspalterei |
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05.10.2019, 21:33 | Lottaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz Okay, danke! Aber ansonsten stimmt das so? |
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05.10.2019, 21:36 | frager00 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nur so aus Interesse, würde das auch gehen: |
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05.10.2019, 21:41 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Lottaa: Ja, passt @frager00: Was willst du denn daraus schließen?. |
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05.10.2019, 21:47 | frager00 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Selbiges wie ihr gerade, ich wollte den Zähler nach unten abschätzen und hatte dann ja wieder die divergente harmonische Reihe dort stehen. Wenn du schon so fragst, wird das aber wohl falsch sein. |
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05.10.2019, 22:06 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die rechte Seite divergiert aber gegen . Damit weißt du über die ursprüngliche Reihe gar nichts. |
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05.10.2019, 23:37 | frager00 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, neuer Versuch: Ist das nun besser ? |
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06.10.2019, 11:44 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gute Idee, nur bei der Ausführung hapert es noch ein bisschen. Im ersten Schritt hast du die ersten fünf Reihenglieder einfach weggelassen, um die Reihe nach unten abzuschätzen. Das geht nur, wenn die Summe der ersten fünf Reihenglieder nichtnegativ ist - was hier nicht der Fall ist. Zum Glück musst du dir die Arbeit gar nicht machen: Du hast die Abschätzung für alle . Da es auf endlich viele Reihenglieder bei der Konvergenzuntersuchung nicht ankommt, schreiben wir die restlichen einfach ab und rechts steht jetzt eine divergente Minorante. Bei der von mir verwendeten Abschätzung geht es genauso und wieder steht rechts eine divergente Minorante |
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06.10.2019, 16:23 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alternativ kann man aus den Rechenregeln für konvergente Reihen folgenden Aussage ableiten:
(Der zugehörige indirekte Beweis ist ein Einzeiler.) Wie man das hier nutzen kann, ist offensichtlich. |
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06.10.2019, 19:35 | frager00 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mist, dass der erste Summand negativ ist, das hatte ich sogar auf dem Schirm. Ich dachte die anderen 4 Summanden kriegen das dann schon hin, dass es wieder positiv wird. Gegen die -1 hatten sie aber keine Chance. Wäre es formal falsch die Ungleichungskette so zu ergänzen :
Wäre das so in Ordnung: Angenommen wäre konvergent, dann würde es ja einen Grenzwert s geben, gegen den diese Reihe konvergiert. Zerlegt man die Reihe in zwei einzelne Summen , dann müsste nach den Grenzwertsätzen die ersten Summe einen Grenzwert und die zweite Summe einen Grenzwert besitzen, so dass gilt. Daraus würde jedoch folgen, dass auch konvergent ist mit Grenzwert , was ein Widerspruch zur Annahme ist. Angewendet führt das zu : Dabei ist die erste Reihe die divergente harmonische Reihe und die zweite Reihe die konvergente quadratische harmonische Reihe (sagt man das so ?). Man sollte das jedoch auch wirklich nur dann tun, wenn man vorher schon mal irgendwann die Konvergenz für mit n>1 nachgewiesen hat. Dann würde man sich damit wirklich etwas Aufwand sparen. |
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06.10.2019, 20:03 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sauber argumentiert klingt es eher so: Angenommen, ist konvergent. Aus dieser Konvergenz sowie der von folgt ("Summe zweier konvergenter Reihen ist konvergent") die Konvergenz von , Widerspruch. |
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06.10.2019, 20:08 | frager00 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, gefällt mir besser. Wo genau bin ich unsauber oder sogar falsch ? |
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06.10.2019, 20:18 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Welchen Grenzwertsatz meinst du hier? Ich kenne jetzt auf die Schnelle keinen, der etwas zu einer Zerlegung aussagt... |
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