Reihe Konvergenz/Divergenz

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Lottaaa Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe Konvergenz/Divergenz
Meine Frage:
Man soll bestimmen, ob die folgende Reihe konvergent oder divergent ist



Meine Ideen:
Ich glaube, die Reihe divergiert; mir fällt aber keine geeignte Minorante ein. Vielleicht ist dieses Kriterium hier auch fehl am Platz. Was meint ihr? Kann mir jemand helfen, bitte?
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RE: Reihe Konvergenz/Divergenz
Für große k ist k-2 ungefähr dasselbe wie k, die Summanden sind also ungefähr so groß wie 1/k.
 
 
Lottaaa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz
Danke für die Antwort! Und ja, hast recht! Aber ich kann die harmonische Reihe ja nicht als Minorante verwenden...

Ich weiß also leider nicht ganz, worauf du hinauswillst verwirrt
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RE: Reihe Konvergenz/Divergenz
Zitat:
Original von Lottaaa
Aber ich kann die harmonische Reihe ja nicht als Minorante verwenden...

und warum nicht?
Lottaaa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz
Es ist doch




Und für die Minorante müsste es doch andersherum sein ... Oder habe ich vielleicht gerade eine falsche Vorstellung davon, was eine Minorante ist? Das kann sehr gut sein
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RE: Reihe Konvergenz/Divergenz
Zunächst brauchst du nicht für alle Reihenglieder eine passende Abschätzung nach unten, endlich viele Reihenglieder spielen keine Rolle. Dann muss es auch nicht die harmonische Reihe selbst sein, etwas vergleichbares reicht. Z.B gilt für große k die Abschätzung
Lottaaa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz
Ach sooo, danke! Es ist für alle und somit




für alle . Und da



ist divergent (denn ) und somit unsere Minorante.


Ich glaube, so müsste es passen. Was meinst du?
Lottaaa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz
Ach sooo, danke! Es ist für alle und somit




für alle . Und da



ist divergent (denn ) und somit unsere Minorante.


Ich glaube, so müsste es passen. Was meinst du?
Lottaaa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz
Third time's a charm:

Ach sooo, danke! Es ist für alle und somit




für alle . Und da



ist divergent (denn ) und somit unsere Minorante.


Ich glaube, so müsste es passen. Was meinst du?
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RE: Reihe Konvergenz/Divergenz
Ganz, ganz streng genommen ist das nicht die Minorante, weil die Abschätzung ja erst ab k=4 gilt. Aber das ist wirklich Haarspalterei smile
Lottaa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe Konvergenz/Divergenz
Okay, danke! Aber ansonsten stimmt das so?
frager00 Auf diesen Beitrag antworten »

Nur so aus Interesse, würde das auch gehen:

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@Lottaa: Ja, passt
@frager00: Was willst du denn daraus schließen?.
frager00 Auf diesen Beitrag antworten »

Selbiges wie ihr gerade, ich wollte den Zähler nach unten abschätzen und hatte dann ja wieder die divergente harmonische Reihe dort stehen.

Wenn du schon so fragst, wird das aber wohl falsch sein. Big Laugh
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Die rechte Seite divergiert aber gegen . Damit weißt du über die ursprüngliche Reihe gar nichts.
frager00 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, neuer Versuch:



Ist das nun besser ?
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Gute Idee, nur bei der Ausführung hapert es noch ein bisschen. Im ersten Schritt hast du die ersten fünf Reihenglieder einfach weggelassen, um die Reihe nach unten abzuschätzen. Das geht nur, wenn die Summe der ersten fünf Reihenglieder nichtnegativ ist - was hier nicht der Fall ist.
Zum Glück musst du dir die Arbeit gar nicht machen: Du hast die Abschätzung für alle . Da es auf endlich viele Reihenglieder bei der Konvergenzuntersuchung nicht ankommt, schreiben wir die restlichen einfach ab
und rechts steht jetzt eine divergente Minorante.

Bei der von mir verwendeten Abschätzung geht es genauso
und wieder steht rechts eine divergente Minorante
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ kann man aus den Rechenregeln für konvergente Reihen folgenden Aussage ableiten:

Zitat:
Ist Reihe konvergent und Reihe divergent, so ist divergent.

(Der zugehörige indirekte Beweis ist ein Einzeiler.)


Wie man das hier nutzen kann, ist offensichtlich.
frager00 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das geht nur, wenn die Summe der ersten fünf Reihenglieder nichtnegativ ist


Mist, dass der erste Summand negativ ist, das hatte ich sogar auf dem Schirm.
Ich dachte die anderen 4 Summanden kriegen das dann schon hin, dass es wieder positiv wird.
Gegen die -1 hatten sie aber keine Chance. geschockt

Wäre es formal falsch die Ungleichungskette so zu ergänzen :




Zitat:
(Der zugehörige indirekte Beweis ist ein Einzeiler.)


Wäre das so in Ordnung:

Angenommen wäre konvergent, dann würde es ja einen Grenzwert s geben, gegen den diese Reihe konvergiert.
Zerlegt man die Reihe in zwei einzelne Summen , dann müsste nach den Grenzwertsätzen die ersten Summe einen Grenzwert und die zweite Summe einen Grenzwert besitzen, so dass gilt. Daraus würde jedoch folgen, dass auch konvergent ist mit Grenzwert , was ein Widerspruch zur Annahme ist.


Angewendet führt das zu :



Dabei ist die erste Reihe die divergente harmonische Reihe und die zweite Reihe die konvergente quadratische harmonische Reihe (sagt man das so ?).

Man sollte das jedoch auch wirklich nur dann tun, wenn man vorher schon mal irgendwann die Konvergenz für mit n>1 nachgewiesen hat.
Dann würde man sich damit wirklich etwas Aufwand sparen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sauber argumentiert klingt es eher so: Angenommen, ist konvergent. Aus dieser Konvergenz sowie der von folgt ("Summe zweier konvergenter Reihen ist konvergent") die Konvergenz von , Widerspruch.
frager00 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, gefällt mir besser. Freude

Wo genau bin ich unsauber oder sogar falsch ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von frager00
Zerlegt man die Reihe in zwei einzelne Summen , dann müsste nach den Grenzwertsätzen die ersten Summe einen Grenzwert und die zweite Summe einen Grenzwert besitzen, so dass gilt.

Welchen Grenzwertsatz meinst du hier? Ich kenne jetzt auf die Schnelle keinen, der etwas zu einer Zerlegung aussagt...
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