Rekursive Folge

06.10.2019, 15:24	sternensee	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge Meine Frage: Man betrachte die folgende rekursive Folge definiert durch $\begin{eqnarray} x_{1} = 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{n+1} = (x_{n} + \frac{2}{x_{n}}) \end{eqnarray}$ Diese Folge ist monoton fallend und konvergiert gegen $\begin{eqnarray} \sqrt {2} \end{eqnarray}$ . Diese Konvergenz möchte ich beweisen. Der Beweis für die Monotonie ist mir gelungen. Habe allerdings ein Problem damit, zu zeigen, dass die Folge nach unten beschränkt ist. Meine Ideen: Also meine Idee wäre gewesen mittels vollständiger Induktion zu zeigen,dass $\begin{eqnarray} x_{n} \geq 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist. Würdet ihr das auch so machen? Danke für eure Hilfe
06.10.2019, 15:43	sternensee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Folge Entschuldigt, es muss $\begin{eqnarray} x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{2}{x_{n}}) \end{eqnarray}$ sein.
06.10.2019, 16:18	RainyMan	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du nur zeigen willst, dass 0 eine untere Schranke ist, dann brauchst du keine Induktion. Das folgt ja direkt aus dem Rekursionsterm, welcher ausschließlich aus positiven Summanden bzw Faktoren besteht. Damit hast du dann die Beschränktheit gezeigt und für größte, untere Schranke (Infimum) kannst du nutzen, dass somit ein Grenzwert g existieren muss, weshalb alle Folgenglieder in der Rekursionsvorschrift gegen g streben. Das führt zu einer einfachen Gleichung, die du nach g umstellen kannst.
07.10.2019, 00:19	sternensee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast recht, danke!
07.10.2019, 00:30	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
"Keine Induktion" halte ich für eine gewagte These, denn was wird zur Begründung benutzt? Vermutlich die Tatsache, dass $\begin{eqnarray} x_1>0 \end{eqnarray}$ und die Rekursionsgleichung gilt. Also genau das, was man in einer Induktion macht.
07.10.2019, 09:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kann ich Helferlein nur beipflichten, manche Induktionen sind so "simpel" im Induktionsschritt, dass man sie anscheinend nicht für voll nimmt. Die hier ist so ein Beispiel, denn das auf der Iterationsgleichung basierende $\begin{eqnarray} x_1>0\Rightarrow x_2>0\Rightarrow x_3>0\Rightarrow\ldots \end{eqnarray}$ IST eine solche Induktion. Basierend auf dem Wissen $\begin{eqnarray} x_n>0 \end{eqnarray}$ kann man dann auch gleich eine bessere untere Schranke finden: $\begin{eqnarray} x_{n+1} = \sqrt{2} + \frac{1}{2}\left( \sqrt{x_n} - \sqrt{\frac{2}{x_n}}\right)^2 \geq \sqrt{2} \end{eqnarray}$ . P.S.: Mit einem anderen Startwert wie etwa $\begin{eqnarray} x_1=-2 \end{eqnarray}$ würde entsprechend folgen $\begin{eqnarray} x_1<0\Rightarrow x_2<0\Rightarrow x_3<0\Rightarrow\ldots \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x_n<0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , und ähnlich oben dann $\begin{eqnarray} x_{n+1} \leq -\sqrt{2} \end{eqnarray}$ .
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07.10.2019, 22:46	sternensee	Auf diesen Beitrag antworten »
@Hal 9000: Das mit dem Umformen, so dass man erkennt, dass der Term größer als Wurzel 2 ist, ist sehr clever, danke!!!!!

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