Beweis zum Fundamentalsatz der Algebra - Verständnisprobleme

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Emma101 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zum Fundamentalsatz der Algebra - Verständnisprobleme
Meine Frage:
Für meine Seminararbeit muss ich 3 Beweismethoden für den FdA darstellen und vergleichen.
Bis jetzt habe ich einen topologischen Beweis und den mit dem Satz von Liouville, den dritten, den ich mir rausgesucht habe, verstehe ich nicht.

-Kennt jemand hier einen weiteren Beweis, den der/die jenige auch erklären könnte (hab schon viel recherchiert, ein Wikipedia eintrag hilft mir nicht) ?

oder

-wäre jemand so lieb mir den Beweis (aus "The Fundamental Theorem of Algebra) zu erklären, er ist auf Englisch und die ersten drei Hilfssätze (Lemmas) verstehe ich, den vierten und längsten Satz verstehe ich jedoch noch so gut wie gar nicht.

Wäre echt mega dankbar, vielleicht ist es noch erwähnenswert zu sagen, dass ich in die 11. Klasse gehe und im Allgemeinen ganz gut mit Mathe zurecht komme (also bei so Uni Zeugs gerne trotzdem ausführlich erklären xD)

(Probleme, die ich mit dem Beweis (zb.) habe: Der Vollzug des Induktionsbeweises ist unklar beschriftet, und das dargestellte Produktzeichen ist im Internet immer über und unter dem Produktzeichen beschrieben, und nicht nur unter ihm, also ist mir die Bedeutung unklar(könnte eine Bedingung sind).)

Den Beweis füge ich dieser Frage hinzu.

Meine Ideen:
Sorry, ich bin echt noch nicht weit gekommen, habe nur die ersten 3 Lemmas gecheckt und bei dem vierten verzweifelt versucht herauszufinden, was ein Zerfällungskörper oder diese Produktschreibweise sein soll.
Gerade deshalb sind ANsätze von euch für mich natürlich umso wichtiger!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner unmassgeblichen Meinung nach sollte sich niemand in der 11.Klasse mit dem Fundamentalsatz der Algebra beschäftigen müssen. Ich studiere seit 1975 Algebra und habe die Beweise immer noch nicht verstanden.

Carl Friedrich Gauß hat mehrere Beweise geführt. Vielleicht verstehst du einen davon.

In einem Zerfaellungskoerper F/K zerfällt ein Polynom aus K[x] in Linearfaktoren, hat also in F so viele Nullstellen wie sein Grad n angibt. Also ist f(x) =(x-a1)... (x-an) mit ai in F.
 
 
Emma101 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay naja, mein Mathelehrer meinte das Thema geht klar. Hab unglücklicherweise nicht viel Wert darauf gelegt die Beweise zu verstehen, bevor das Thema endgültig feststand. Hab mir mein Problem jetzt wohl selbst eingebrockt.
Aber ich sollte an dieser Stelle anmerken, dass die Beweise von Gauss eher kompliziert sind, da er damals noch nicht alle mathematischen Mittel hatte, die wir heute haben und so Umwege gehen musste. Deshalb habe ich diesen gewählt, von dem ich eben schon einiges verstehe.
Danke für die Erklärung mit dem Zerfällungskörper. Inzwischen habe ich etwas mehr verstanden (Warum H(x) 2^m-1*q' Nullstellen haben muss)
Konkrete Unklarheiten wären:
-was es heißt, dass H(x) in seinen Nullstellen symmetrisch ist (evtl falsch übersetzt? aber so verstehe ich es)
-warum es mindestens zwei h gibt, für die die Nullstellen komplex sind (im Allgemeinen inwiefern das Polynom zweiten Grades aus den beiden Werten für h folgt)
-Wieso H(x) E lR[x] sein kann, wenn sich am Ende rausstellt, dass ai, aj E
Es geht mir hierbei um Lemma 6.5.4.

Falls Sie noch Zeit oder Lust haben sich damit zu beschäftigen, würde ich das natürlich wertzuschätzen wissen, aber wenn das selbst für einen Mathematiker zu kompley ist, weiß ich an dieser Stelle auch nicht wie ich meine Seminararbeit fertig kriegen soll unglücklich .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, aber das ist mir wirklich zu kompliziert (kompliziert heißt schwierig zu verstehen , komplex heißt unmöglich zu verstehen).
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man mal akzeptiert, dass wegen Lemma 6.4.3 (was auch immer das sein mag) ein relles Polynom ist, geht es eigentlich recht gut voran:
ist als Produkt von Linearfaktoren definiert, also kennt man alle seine Nullstellen. Eine davon ist komplex, also gibt also es ein Paar , so dass eine komplexe Nullstelle von ist.
Jetzt kommt der erste Knackpunkt. Man nimmt eine andere ganze Zahl und betrachtet das Polynom . Für dieses Polynom bekommt man jetzt mit der gleichen Argumentation ein (möglicherweise anderes) Paar (der Index hängt also vom gewählten ab) , so dass eine komplexe Nullstelle von ist.
Jetzt kommt der zweite Knackpunkt: Wir wissen, dass es nur endlich viele Paare gibt - sagen wir mal fünf Stück. Was passiert jetzt, wenn wir sechs verschiedene Zahlen wählen und die zugehörigen Polynome betrachten?
Emma101 Auf diesen Beitrag antworten »

@URL
Danke erstmal für die Anwort!
Also in deinem Beispiel haben wir 6 Polynome mit je 5 Linearfaktoren, die sich nur durch ihr h1,h2,..,h6 unterscheiden, oder?
Leider habe ich jetzt das Problem, dass mir unklar ist worauf Sie hinauswollen.
Habe ich die Produktschreibweise richtig verstanden, wenn ich sage, dass, wenn f(x) den Grad 5 hat, H(x) dann den Grad 12 hat, weil man H(x)= (x-(a1,a2)*(a1,a3)*(a1,a4)*(a1*a5)*(a2,a3)*...*(a4,a5)?
Auch verstehe ich nicht, wieso man sagen kann, dass eine Nullstelle von allen komplex sind, das habe ich oftmals gehört, allerdings ist docj jede Zahl Teil der Komplexen Zahlen oder? Oder bezeichnet man hier immer nur die Zahlen als komplex, die nicht Teil der Reellen sind?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis ist wirklich sehr kompliziert, aber nicht unmöglich zu verstehen. Du musst sehr sorgfältig lesen, um ihn zu verstehen.
Die Koeffizienten von sind (lateinische Koeffizienten ), seine Nullstellen in einem Zerfällungskörper sind (griechische Nullstellen ), und mit diesen (griechischen) Nullstellen werden die Polynome als Produkte gebildet.
Man weiß zuerst nur, dass die alphas in einem Zerfällungskörper existieren, durch Induktion über den Grad von erwischt man dann schon eine komplexe Nullstelle, diese kann auch eine reelle Nullstelle sein.
Um den Beweis zu verstehen musst du verstehen, bedenke, dass jedes Polynom als Summe und als Produkt geschrieben werden kann, wenn man seine Koeffizienten und seine Nullstellen kennt.
Du musst vielleicht auch verstehen, was symmetrische Polynome sind (ich habe noch nicht verstanden, welche Rolle die Symmetrie im Beweis spielt, ist eben kompliziert --- jetzt habe ich es verstanden, hier kommt das Lemma 6.4.3 ins Spiel, das aus dem symmetrischen Polynom im Zerfällungskörper ein reelles Polynom macht --- das ist raffiniert). Nicht nur die symmetrischen Polynome sind wichtig, im Beweis des Lemma 6.4.3 wird auch noch auf die elementarsymmetrischen Polynome verwiesen und auf den "Hauptsatz der elementarsymmetrischen Polynome", der besagt, dass symmetrische Polynome sogar Polynome in elementarsymmetrischen Polynomen sind (geht's noch komplizierter ? - https://de.wikipedia.org/wiki/Elementarsymmetrisches_Polynom).
Der Vorteil dieses Beweises gegenüber anderen könnte darin liegen, dass hier viel Algebra und wenig Analysis verwendet wird. Ganz ohne Analysis geht es wohl nicht, weil reelle und komplexe Zahlen nicht rein algebraisch definiert werden können. Das wurmt die Algebraiker, und früher nannte man diese analytischen Beweismethoden für den sogenannten "Fundamentalsatz der Algebra" den "Stachel im Fleisch der Algebra". Heute sehen wir das etwas entspannter und erklären den sogenannten "Fundamentalsatz der klassischen Algebra" zu einem Satz, der nicht zum wesentlichen Teil der modernen Algebra gehört.
Emma101 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, es ist echt interessant zu hören, was du so weißt über Algebra und Co!

Ich hab leider noch ein Problem mit dem Beweis, das dieses Zitat aus dem Beweis umfasst:
"Suppose F′ is the splitting field for f(x) over lR. in which the roots are

a1,... , an' This exists from our discussion in section 6.3. We show that

at least one of these roots must be in C."

man nimmt hier ja schon an, dass ein relles Polynom n Nullstellen hat, und n war ja der Grad. Jetzt beweist man im folgenden, dass diese auch auch im Komplexen liegen können. Allerdings frage ich mich jetzt, wo die Nullstellen liegen sollen, wenn nicht im Komplexen, es sind doch alle Zahlen komplex (wenn die Internetquelle von eben seriös war). Demzufolge wäre das alles unten überflüssig. Natürlich ist mir klar, dass ich hiern nen üblen Denkfehler drin haben muss, aber ich komm gerade beim besten Willen nicht drauf.

(Frage: Warum ist das oben zitierte nciht bereits der Beweis?

(oder: warum kann der Körper F′ Zahlen umfassen, die nicht Teil der Komplexen sinjd, wenn es sie (nicht komplexe Zahlen) gar nicht gibt (das ist der einzige Weg, der mir eingefallen ist, wie das ganze Sinn macht) )
Wäre dankbar für Klarifizierung!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ist K ein Körper und f(x) ein Polynom vom Grad n mit Koeffizienten in K, dann kann man formal algebraisch eine Körpererweiterung F von K konstruieren, so dass f in F genau n Nullstellen hat.
Es ist nicht von vornherein klar, dass die Nullstellen eines komplexen Polynoms immer in den komplexen Zahlen zu finden sind. Das zeigt uns erst der Fundamentalsatz der Algebra.
Carl Friedrich Gauß war um 1800 der erste Mathematiker, der die komplexen Zahlen als Erweiterung der reellen Zahlen verstanden hat und den Fundamentalsatz beweisen konnte.
Übrigens sind nicht alle Zahlen komplexe Zahlen. Seit ca. 1900 Kurt Hensel und Helmut Hasse in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts die p-adischen Zahlen erfunden und erforscht haben, kennen wir unendlich viele andere Körpererweiterungen der rationalen Zahlen, die ähnlich konstruiert werden wie die reellen Zahlen aber ganz andere Eigenschaften haben.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp : nenne die Nullstellen von f(x) nicht a1,..., an und auch nicht alpha_1,...,alpha_n sondern x_1,...,x_n, sonst kommst du mit dem Beweis nicht zurecht.
Es ist dann
Emma101 Auf diesen Beitrag antworten »

"Der Vorteil dieses Beweises gegenüber anderen könnte darin liegen, dass hier viel Algebra und wenig Analysis verwendet wird. Ganz ohne Analysis geht es wohl nicht, weil reelle und komplexe Zahlen nicht rein algebraisch definiert werden können. Das wurmt die Algebraiker, und früher nannte man diese analytischen Beweismethoden für den sogenannten "Fundamentalsatz der Algebra" den "Stachel im Fleisch der Algebra". Heute sehen wir das etwas entspannter und erklären den sogenannten "Fundamentalsatz der klassischen Algebra" zu einem Satz, der nicht zum wesentlichen Teil der modernen Algebra gehört."

Haben Sie irgendwelche Quellen, die sich auf den Stachel im Fleisch der Algebra beziehen? Weil ich suche inzwischen schon lange nach etwas in die Richtung, da mich das interessiert, habe aber noch nichts gefunden, was sich auf das Nicht-Vorhandensein eines algebraischen Beweises für den Fundamentalsatz der Algebra bezieht. Und, dass das den Algebraikern "unangenehm" war, weshalb sie dann versucht hätten einen rein algebraischen Beweis zu erbringen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ebbinghaus et al. "Zahlen" 3. Auflage 1992 , Springer Verlag
Reinhold Remmert , Kapitel 4 . Fundamentalsatz der Algebra , Seite 79-99

Eines der schönsten und wichtigsten und lesbarsten und inhaltsreichsten Bücher zum Thema. Aus dem Kapitel 4 kannst du sehr viele Anregungen und Zitate für deine Seminararbeit übernehmen - du musst nur das Buch als Quelle angeben und korrekt zitieren, sonst gibt es Ärger.

Übrigens gibt es keinen algebraischen Beweis für den "Fundamentalsatz der Algebra" ... und es wurmt mich immer noch. böse

Nachtrag: "Du" und nicht "Sie" unter uns MathematikerInnen.
Emma101 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen, vielen Dank dir!

ich habe danach echt Tage lang gesucht!!
Emma101 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine ergänzende Frage:

In dem benannten Buch ist nie die Rede vom "Stachel im Fleich der Algebra" und auch nicht davon, dass man, der Algebra willen, versucht hätte, einen rein algebraischen Beweis zu erbringen.
Meiner ANsicht nach wird lediglich klar gemacht, dass der Beweis von Euler uns somit auch der zweite von Gauss auf vielen algebraischen Prinzipien basieren.

Mich würde interessieren, ob es auch für das oben genannte eine Quelle gibt, oder ob ich etwas überlesen habe (habe es eigentlich zwei mal durchgelesen).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Zitat steht in "Zahlen" Kapitel 8 Einleitung, also in einem anderen Zusammenhang. Ich erinnere mich deutlich daran, dass es von meinem Professor in der Algebra - Vorlesung 1976 im Zusammenhang mit dem Fundamentalsatz verwendet wurde. Belegen kann ich das nicht mehr, die Mäuse haben die Mitschrift zum Nestbau verwendet.
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