Majorante gesucht

06.10.2019, 21:53

chloechloe

Majorante gesucht

Meine Frage:
Ich möchte die Konvergenz dieser Reihe mithilfe des Majorantenkriteriums beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{2}}{2^{k}} \end{eqnarray*}$

Könntet ihr mir bitte helfen eine passende Majorante zu "finden" ?

Meine Ideen:
Die Majorante ist wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{2}} \end{eqnarray*}$ ähnlich

07.10.2019, 02:47

frager00

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Nur mal ein paar Gedanken zu einem potentiellen Ansatz:

So wie ich das verstanden habe, dürfen Abschätzungen beim Finden von Majoranten oder Minoranten ruhig erst ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ gültig sein, so dass endlich viele Summanden dafür keine Rolle spielen.

Hat man das im Hinterkopf und hat man zudem eh schon eine "Wunschmajorante" im Sinn, dann kann man das Ganze eigentlich recht einfach erzwingen.

Bei deiner Reihe könnten solche Wunschmajoranten ja z.B. dein angedeutetes $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ oder auch die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^k \end{eqnarray*}$ sein.

Wie schätzt man also nach oben ab, wenn man einen Bruchterm vorliegen hat ?
Entweder man macht den Zähler größer oder den Nenner kleiner.

Zweiteres könnte ja dazu führen, dass man sich denkt, dass es doch schön wäre wenn sowas wie $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=k_0}^{\infty} \frac{k^{2}}{2^{k}} \leq \sum\limits_{k=k_0}^{\infty} \frac{k^{2}}{k^4} \end{eqnarray*}$ entstehen würde. Denn genau dann hätte man ja die konvergente Majorante.
$\begin{eqnarray*} k^4 \end{eqnarray*}$ ist am Anfang natürlich noch nicht immer kleiner als $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ , aber ab einem bestimmten (und hier sogar schön glatten) $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ passiert es, dass ab diesem Wert die Exponentialfunktion gewinnt, also stets oberhalb der Potenzfunktion liegt.

Entscheidend ist dann aber noch, dass man die Abschätzung sauber begründet
Wie das am Einfachsten geht, das überlasse ich mal lieber den Experten hier im Board. Big Laugh

Viel Erfolg mit der Aufgabe Wink

07.10.2019, 09:25

HNF

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Hallo,

Meiner meiner Meinung nach kannst du die Konvergenz sehr gut mit dem Quotientenkriterium nachweisen bzw. widerlegen.

07.10.2019, 09:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von chloechloe
Ich möchte die Konvergenz dieser Reihe mithilfe des Majorantenkriteriums beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{2}}{2^{k}} \end{eqnarray*}$

Nicht dass es nicht möglich ist, aber: Es gibt weiß Gott bessere Beispiele , denn die vorliegende Reihe ist geradezu prädestiniert für das Quotientenkriterium. Die für eine erfolgreiche Anwendung des Majorantenkriteriums notwendigen Zusatzbetrachtungen sind da erheblich aufwändiger.

Eine noch relativ einfache Möglichkeit wäre diese: Im Nenner schätzt man die binomische Summe durch das 4.Glied nach unten ab, d.h. für $\begin{eqnarray*} k\geq 4 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} 2^k = (1+1)^k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} > \sum_{j=4}^4 \binom{k}{j} = \binom{k}{4} = \frac{k(k-1)(k-2)(k-3)}{24} \end{eqnarray*}$ ,

woraus dann

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=4}^{\infty} \frac{k^2}{2^k} < \sum_{k=4}^{\infty} \frac{24k}{(k-1)(k-2)(k-3)} \end{eqnarray*}$

folgt.

P.S.: Man kann den Reihenwert übrigens auch berechnen: Es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} k^2q^k = \frac{q(1+q)}{(1-q)^3} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ ; für $\begin{eqnarray*} q=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ergibt das Reihenwert 6.

P.S.: Habe mir etwas zu lang Zeit gelassen mit dem Beitrag, deswegen bin ich hinsichtlich QK etwas spät dran...

07.10.2019, 20:43

chloechloe

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Danke euch dreien! Ja, mit dem Quotientenkriterium ist es recht einfach; wollte es nur als Übung einmal mit dem Majorantenkriterium beweisen, just for fun also, wenn man so will

Auf jeden Fall haben mich eure Beiträge sehr viel weitergebracht, danke vor allem @Hal 9000 für deine ausführliche Erklärung!

Wisst ihr auch, was eine geeignete Majorante wäre für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ ?

Auch hier wäre es natürlich einfacher, das Quotientenkriterium zu bedienen, ich würde es jedoch gerne einml ohne probieren

08.10.2019, 08:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von chloechloe
Wisst ihr auch, was eine geeignete Majorante wäre für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ ?

Da würde ich einfach mal zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k-1)^2} \end{eqnarray*}$ greifen. Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{(k-1)^2} \end{eqnarray*}$ gilt natürlich nur für k >= 2. smile

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