Lineare Optimierung

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Scheffi Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Optimierung
Moin ich habe folgendes System linearer Ungleichungen:

x >= 2
y >= 1
2x + 1y <= 7

Zuerst soll ich die Eckpunkte bestimmen. Dafür habe ich die Dritte Ungleichung nach x und y umgestellt:

y = 7 - 2x
x = (7-y)/2

y = 7
x = 3,5

Eckpunkte (0|3,5), (7|0), und logischerweise (0|0)

Geht das in die richtige Richtung?
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: System linearer Ungleichungen
Nein, nicht so ganz.

Die Gerade, welche als "Randgerade" zur dritten Ungleichung gehört, schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten (3.5 | 0) und (0 | 7).
Diese Punkte sind aber keine Eckpunkte desjenigen Dreiecks, dessen Innengebiet (inkl. Rand) wirklich die Lösungsmenge des Ungleichungssystems darstellt.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Kurz gesagt: Eckpunkte des Lösungsgebiets sind diejenigen , die alle drei Ungleichungen erfüllen, zwei davon aber sogar mit Gleichheit. Für das Raussuchen dieser zwei Gleichungen gibt es natürlich Möglichkeiten.
Scheffi Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe jetzt die beiden ersten Ungleichungen in die dritte Ungleichung eingesetzt.

also 2*2 + 1y=7

dafür habe ich den y-Wert = 3 herausbekommen

also 2x + 1*1

dafür habe ich den x-Wert = 2,5 herausbekommen

Sind dann meine beiden anderen Eckpunkte (2|3), (2,5|1)?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Scheffi
Sind dann meine beiden anderen Eckpunkte (2|3), (2,5|1)?

Ja, wobei wenn du von "beiden anderen" sprichst, solltest du überhaupt erst mal den ersten nennen (was du bisher nicht getan hast):

Der ist schlicht (2|1) als Kreuzungspunkt der beiden Geraden x=2 und y=1.




EDIT: Huch, schlecht aufgepasst: Dein Punkt (2.5|1) ist natürlich falsch - richtig ist da (3|1), wie auch aus der Skizze ersichtlich.
Scheffi Auf diesen Beitrag antworten »

Okay jetzt nochmal zusammengefasst

x>=2
y>=1
2x+y=7

1. x=2
2 . y=1

3 .2x+y=7 -> 7-2x=y

So jetzt 1. und 2. in 3. einsetzen um die Schnittpunkte herauszubekommen.

1. und 3.: y=7-2*2 -> y=3
Eckpunkt: (2|3)
2. und 3.: 2x=7-y -> x=7-1/2 -> x=3
Eckpunkt (1|3)

So jetzt bei 1. und 2. erkenne ich in der Skizze, dass bei (2|1) der Schnittpunkt ist, aber verstehe nicht ganz wie das rechnerisch geht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du da noch rechnen?
Es ist der Schnittpunkt der beiden Geraden x = 2 und y = 1 und dabei kann es nur den einen geben, nämlich ...

mY+
Scheffi Auf diesen Beitrag antworten »

Schon großen Dank an dieser Stelle. Ich hab noch einen draufzusetzen. Jetzt soll noch das Maximum der linearen Zielfunktion f(x;y) = 2x + 3y über dem Lösungsploygon berechnet werden.

Muss ich dafür die beiden Zielfunktionen gleichsetzen?

Also: 2x + 3y = 2x + y - 7

Wenn ich das nach x und y Auflöse komme ich auf 3,5 = y und 5,25 = x

Wenn ich die Werte in die Zielfunktion: 2x + 3y einsetze, erhalte ich dann das Maximum?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt jetzt mal gar nicht.
Es gibt nur EINE Zielfunktion, nämlich f(x;y) = z = 2x + 3y. Das andere ist nach wie vor eine Ungleichung.
Dass sich bei deiner (falschen) Rechnung die 2x wegheben, ist purer Zufall. Und: Liegt dein Punkt (5.25; 3.5) überhaupt im Zielgebiet?

Du kannst zunächst eine zur Zielfunktion parallele Gerade als z_0 = 2x + 3y = 0 festlegen.
Diese verschiebst du parallel möglichst weit (nach rechts und oben in den 1. Quadranten hinein), so lange, bis diese das Planungsvieleck NUR in einem der äußeren Eckpunkte trifft. Die Gerade darf dabei nirgends innerhalb dieses Polygons verlaufen.

Welcher Punkt wird erreicht? Dessen Koordinaten müssen nun in z = 2x + 3y eingesetzt werden, der Wert von z ist das Optimum.

mY+
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