Unbestimtes Integral (LN)

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Ra233jay Auf diesen Beitrag antworten »
Unbestimtes Integral (LN)
Ich soll die Lösung für ein unbestimmtes Integral berechnen:

Jetzt habe ich in einem Video den Trick gesehen, dass man einfach den ln mit 1 multiplizieren soll, damit man ein Produkt bekommt und eine Produktintegration vornehmen kann.

u = x
v = ln (x) +1

u' = 1

Dann u' * v - u * v'

1 * ln (x) + 1 - x * (1/x)

x * ln (x) + 1 - x

Kann man das so machen?
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbestimtes Integral (LN)
Guten Tag,

besser nicht, denn



und dann weiter zusammenfassen.
 
 
Ra233jay Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, aber ich verstehe nicht ganz worauf du hinauswillst? Wo genau ist der Fehler ist x*1/x nicht 1 und am Ende aufgeleitet x?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbestimtes Integral (LN)
Zitat:
Original von Ra233jay
1 * ln (x) + 1 - x * (1/x)

x * ln (x) + 1 - x

Es ist immer schwer zu verstehen, was der Schreiber mit so hingeknallten Ausdrücken uns sagen will. Deutlich leichter wird die Sache, wenn du auch mal ein Gleichheitszeichen verwenden würdest.

Wenn ich mal die zweite Zeile als Funktion auffasse, ist es jedenfalls keine Stammfunktion von ln(x) + 1 .
Ra233jay Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh was wäre denn der erste Schritt um die Stammfunktion von ln(x)+1 zu berechnen? Meine Idee war es den ln mit 1 zu multiplizieren, um dann mit dieser Formel: u'*v-u*v=F(x) die Stammfunktion zu berechnen.
Mathe-Novize Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ra233jay
Mhh was wäre denn der erste Schritt um die Stammfunktion von ln(x)+1 zu berechnen?

Da das Integral ja aus einer Summe besteht, kannst du zunächst summandenweise integrieren:

Zitat:
Original von Ra233jay
[…] um dann mit dieser Formel: u'*v-u*v=F(x) die Stammfunktion zu berechnen.

Also zunächst einmal heißt die "Formel" partielle Integration und weiter lautet sie korrekt .
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

wie in deinem ersten Beitrag zu sehen ist, benutzt du v(x)=( ln(x) +1)

Zitat:
Original von Ra233jay
sorry, aber ich verstehe nicht ganz worauf du hinauswillst? Wo genau ist der Fehler ist x*1/x nicht 1 und am Ende aufgeleitet x?


Zitat:
1 *( ln (x) + 1) - int(x * (1/x))
x *( ln (x) + 1) - x


Ausmultipliziert ergibt sich:



und jetzt zusammenfassen.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Da bietet sich alternativ auch der folgende weniger bekannte Satz an:

Sei eine stetige und streng monotone Funktion zwischen Intervallen. Dann gilt

wobei die Umkehrfunktion von ist und eine Stammfunktion von .

Siehe Integral of inverse functions in Wikipedia.
Ra233jay Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich das Summandenweise integrieren. Erst mal . Das mach ich dann mit der partiellen Integration.









und dann hab ich noch 1 zu integrieren, so dass F(x)=x*ln(x)-x+x ist

und das weiter zusammengefasst: F(x)=x*ln(x)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ra233jay






Das ist doch einfach nur formaler Humbug oder du hast den Hinweis von Mathe-Novize zur korrekten Formel für die partielle Integration nicht gesehen. Ich habe dir auch oben schon gesagt, daß du bitte Gleichheitszeichen zwischen Ausdrücke setzt, von denen du der Ansicht bist, daß diese gleich sind.

Ich schenke mir auch das Auftrennen in zwei Integrale. Dann sieht die Rechnung so aus:



So einfach kann es sein und da versteht auch jeder, was gerechnet wurde.

Denke auch daran, das endgültige Ergebnis noch mit einer Integrationskonstanten zu versehen.
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