äquivalenz

07.10.2019, 19:18

denver565

äquivalenz

Meine Frage:
Hallo kann mir jemand bitte weiterhelfen?

Ich meine etwas genauer erläutern warum das so ist...

Meine Ideen:
siehe bild

07.10.2019, 19:56

Elvis

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Genauer erläutern kann man das nicht. Es ist so, wie es ist. Man kann in der Aussagenlogik mit Wahrheitstafeln arbeiten, und dann sieht man, dass es so ist. Man kann auch das rechte als Definition für das linke benutzen, und auch dann gibt es nichts zu erläutern. Definitionen sind so, wie sie sind.

08.10.2019, 02:43

tobit

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Hallo zusammen,

zwei Erklärungen:

1. Plausibler wird die Behauptung, wenn man $\begin{eqnarray*} \neg P\vee Q \end{eqnarray*}$ durch die äquivalente Aussage $\begin{eqnarray*} \neg (P\wedge\neg Q) \end{eqnarray*}$ ersetzt. Die von mir gerade behauptete Äquivalenz kann man sich mit einer Regel von der Morgan und der Äquivalenz von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \neg \neg Q \end{eqnarray*}$ klarmachen.

2. Formaler Beweis: Gelte zunächst $\begin{eqnarray*} P\Rightarrow Q \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} \neg P\vee Q \end{eqnarray*}$ . Angenommen $\begin{eqnarray*} \neg P\vee Q \end{eqnarray*}$ gilt nicht. Dann gilt P (denn sonst $\begin{eqnarray*} \neg P \end{eqnarray*}$ und damit doch $\begin{eqnarray*} \neg P\vee Q \end{eqnarray*}$ ) und wegen $\begin{eqnarray*} P\Rightarrow Q \end{eqnarray*}$ somit Q, also insbesondere $\begin{eqnarray*} \neg P\vee Q \end{eqnarray*}$ , was unserer Annahme widerspricht, dass $\begin{eqnarray*} \neg P\vee Q \end{eqnarray*}$ nicht gelte.

Umgekehrt gelte nun $\begin{eqnarray*} \neg P\vee Q \end{eqnarray*}$ . In beiden Fällen $\begin{eqnarray*} \neg P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ überlegt man sich jeweils die Gültigkeit von $\begin{eqnarray*} P\Rightarrow Q \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Tobias

08.10.2019, 05:13

earlybird

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Kann man das nicht mit Aussagen veranschaulichen?

P= Es regnet.
Q = Die Strasse ist nass.

???

08.10.2019, 06:44

Dopap

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1.) wenn P , Q logische Variable sind dann ist $\begin{eqnarray*} P\to Q \end{eqnarray*}$ eine Funktion der Variablen auch Subjunktion genannt. Diese ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \lnot P \lor Q \end{eqnarray*}$ per Definition

2.) $\begin{eqnarray*} P\Rightarrow Q \end{eqnarray*}$ ist eine Implikation / Folgerung von Aussagen. Also eine Relation.

wenn es auf Helgoland so richtig im Herbststurm regnet, dann ist der Hubschrauberlandeplatz nass.

Diese Implikation/Folgerung ergibt sich aus unserem Wissen über Wetter, Nordsee, Herbst, Regen, benetzendes Wasser und der wahrscheinlich richtigen Annahme, dass der Hubschrauberlandeplatz auf Helgoland nicht überdacht ist Augenzwinkern

Wenn es regnet dann ist die Strasse nass ist zwar gut gemeint lässt aber noch zu viel Interpretationen zu.

Beachte nun, dass der Vorsatz wahr sein muss.
Die Folgerung ist insgesamt nur falsch wenn wenn der Nachsatz falsch ist:

$\begin{eqnarray*} \bullet \end{eqnarray*}$ Wenn es auf Helgoland richtig regnet dann ist der Landeplatz trocken ist falsch

bei falscher Prämisse entstehen die "Folgerungen":
a.) Wenn es nicht regnet dann ist der Landeplatz trocken

b.) Wenn es nicht regnet dann ist der Landeplatz nass

in Anlehnung an $\begin{eqnarray*} \lnot P \lor Q \end{eqnarray*}$ "bewertet" man beide Fälle als wahr

08.10.2019, 07:22

earlybird

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Vielen Dank.

Könntest du das Regenbeispiel noch auf nP v Q in Worten anwenden? (nP = nicht-P)
Das ODER ist ja inklusiv.
Wie müsste man das beim Regenbeispiel genau formulieren: P-->Q = nP vQ ?

08.10.2019, 08:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dopap
Wenn es regnet dann ist die Strasse nass ist zwar gut gemeint lässt aber noch zu viel Interpretationen zu.

Das sehe ich nicht so. Hier regnet es gerade und die Straße ist definitiv nass.

Zitat:

Original von earlybird
Könntest du das Regenbeispiel noch auf nP v Q in Worten anwenden? (nP = nicht-P)
Das ODER ist ja inklusiv.
Wie müsste man das beim Regenbeispiel genau formulieren: P-->Q = nP vQ ?

Das kannst du eigentlich selbst:
Es regnet nicht oder die Straße ist nass.
Genau wie P ==> Q ist der obige Satz immer wahr.

08.10.2019, 08:58

earlybird

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Danke.
PS

Zitat:

Hier regnet es gerade und die Straße ist definitiv nass.

Kommt auf die Straße an. Es kann auch eine gesperrte Straße in einer Einhausung sein, auf die es gerade regnet. Augenzwinkern

08.10.2019, 09:50

klarsoweit

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Man kann natürlich alles mögliche konstruieren, aber in den überwiegenden Fällen ist "Straße" ein Objekt, das der Witterung ausgesetzt ist.