Differentialgleichung, Ritz-Galerkin-Verfahren

07.10.2019, 20:42

Chiara92

Differentialgleichung, Ritz-Galerkin-Verfahren

Meine Frage:
Randwertproblem:
u''(x) - 5u(x)=x^2 Nebenbedingung: u' (0)=7 u(2)=3
nach dem Ritz-Galerkin Verfahren Näherungsweise. Als Ansatzfunktion ein Polynom ersten Grades als einzige Ansatzfunktion wählen.

Meine Ideen:
Verzweifele an der Aufgabe... hat jemand eine Idee wie man das Lösen kann?

01.12.2019, 11:24

Ulrich Ruhnau

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RE: Differentialgleichung, Ritz-Galerkin-Verfahren

Zitat:

Original von Chiara92
Meine Frage:
Randwertproblem:
u''(x) - 5u(x)=x^2 Nebenbedingung: u' (0)=7 u(2)=3
nach dem Ritz-Galerkin Verfahren Näherungsweise. Als Ansatzfunktion ein Polynom ersten Grades als einzige Ansatzfunktion wählen.

Also erst einmal umstellen: $\begin{eqnarray*} u''(x)=5u(x)+x^2 \end{eqnarray*}$
Dann kommt der erste Ansatz $\begin{eqnarray*} u(x)=ax+b \end{eqnarray*}$ ableiten $\begin{eqnarray*} u'(x)=a=7 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} u(x)=7x+b \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} u(2)=7\cdot 2+b=3 \end{eqnarray*}$ und weiter $\begin{eqnarray*} b=-11 \end{eqnarray*}$ .
Also $\begin{eqnarray*} u(x)=7x-11 \end{eqnarray*}$ und einsetzen in $\begin{eqnarray*} u''(x)=5u(x)+x^2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} u''(x)=5(7x-11)+x^2 \end{eqnarray*}$ das macht $\begin{eqnarray*} u''(x)=x^2+35x-55 \end{eqnarray*}$

1. Iterationsschritt

$\begin{eqnarray*} u'(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{35x^2}{2}-55x+c_1 \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} u'(0)=7 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} c_1=7 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} u(x)=\frac{x^4}{12}+\frac{35x^3}{6}-\frac{55x^2}{2}+7x+c_2 \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} u(2)=3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} c_2=51 \end{eqnarray*}$

Hier müsste der nächste Iterationsschritt kommen indem man den gefundenen Ausdruck für $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ wieder in die Ausgangsgleichung $\begin{eqnarray*} u''(x)=5u(x)+x^2 \end{eqnarray*}$ einsetzt und zweimal integriert, wobei die Integrationskonstanten an die Randbedingungen anzupassen sind.

Ich weiß nicht, ob dieses Verfahren konvergiert. Für die Differentialgleichung zweiter Ordnung gibt es aber auch ein Lösungsverfahren, das hier besser sein würde.

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