Direktes Produkt zweier Gruppen

07.10.2019, 21:15	Hellouuu	Auf diesen Beitrag antworten »
Direktes Produkt zweier Gruppen Meine Frage: Seien (G1,.) und (G2, ) Gruppen. Beweise: (G1xG2, ×) ist eine Gruppe. (g1h1 x g2h2) =(g1.g2, h1h2). Meine Ideen: Assoziativität ist trivial Neutrales Element ist e:= (eG1, eG2) Und hier brauche ich jetzt Hilfe: Was ist das Inverse Element dazu?
07.10.2019, 21:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist trivial. Du musst nur wissen, wozu du das Inverse suchst. Die Definition der Verknüpfung ist falsch formuliert, von daher kann dein Problem kommen.
08.10.2019, 09:24	saraaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt einfach (g1h1, g2h2) ^-1 := ((g1, h1) ^-1,(g2,h2)^-1) Das ist natürlich dann wirklich sehr trivial. Was ist falsch an der Definition? Der Professor hat es nämlich so hingeschrieben.
08.10.2019, 11:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} G_1\times G_2 \end{eqnarray}$ ist das cartesische Produkt der Mengen $\begin{eqnarray} G_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G_2 \end{eqnarray}$ , also ist die Operation gegeben durch $\begin{eqnarray} \times : (G_1\times G2)\times (G_1\times G_2)\to (G_1\times G_2), ((g_1,h_1),(g_2,h_2))\mapsto (g_1\cdot g_2,h_1h_2) \end{eqnarray}$ . Man kann Elemente aus $\begin{eqnarray} G_1 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ und Elemente aus $\begin{eqnarray} G_2 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} * \end{eqnarray}$ verknüpfen aber man kann nicht Elemente aus $\begin{eqnarray} G_1 \end{eqnarray}$ mit Elemente aus $\begin{eqnarray} G_2 \end{eqnarray}$ verknüpfen, deshalb ist die Schreibweise (g1h1 x g2h2) =(g1.g2, h1h2) auf der linken Seite der definierenden Gleichung sinnlos. In der Gleichung (g1h1, g2h2) ^-1 := ((g1, h1) ^-1,(g2,h2)^-1) ist die linke und die rechte Seite sinnlos. Wie ich schon sagte, musst du wissen, wozu du das Inverse suchst. Ein Element von $\begin{eqnarray} G_1\times G_2 \end{eqnarray}$ hat die Form $\begin{eqnarray} (g,h) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g\in G_1,h\in G_2 \end{eqnarray}$ , dazu das Inverse zu berechnen ist trivial, denn es soll doch $\begin{eqnarray} (g,h)\times (x,y)=(g\cdot x,hy)=(e_1,e_2) \end{eqnarray*}$ sein. Wenn der Professor das wirklich so hingeschrieben hat, was ich nicht glaube, ist es deine Pflicht, darüber nachzudenken und die Schreibweise zu korrigieren (nicht öffentlich, sondern in deinen Mitschriften und Aufgaben und Lösungen).

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