Schwerpunkt in einem Dreieck: Beweis für einen geschlossenen Vektorzug

07.10.2019, 21:49	Clara57	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt in einem Dreieck: Beweis für einen geschlossenen Vektorzug Meine Frage: Ich habe ein Dreieck ABC gegeben durch die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{AB} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{AC} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ . Nun sollte ich beweisen, dass für jedes Dreieck ABC mit dem Schwerpunkt S gilt: $\begin{eqnarray} \vec{SA} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \vec{SB} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \vec{SC} \end{eqnarray}$ = 0. Ausserdem weiss man, dass sich die Schwerlinien im Verhältnis von 2:1 teilen. Wie geht man hier am besten vor? Meine Ideen: Ich habe bereits diesen geschlossenen Vektorzug zu einem Parallelogramm erweitert, Beweise für das Verhältnis der Schwerlinien angeschaut, etc , aber daraus konnte ich leider nichts herauslesen.
07.10.2019, 23:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte setze jetzt voraus, dass alle mit Kleinbuchstaben bezeichnete Größen Vektoren sind. Berechne zunächst den Vektor BC als b -c. Dann die Vektoren s_a, s_b und s_c von den jeweiligen Seitenmittelpunkten zu den Eckpunkten A, B, C. Der Beweis kann nun ebenso gut bereits für diese Vektoren geführt werden, also für den zu beweisenden Satz muss ebenso gelten: s_a + s_b + s_c = $\begin{eqnarray} \vec 0 \end{eqnarray}$ (!) Denn die Vektoren SA, SB und SC sind lediglich das (2/3)-fache der o.g. Vektoren und die Tatsache, dass deren Summe der Nullvektor ist, muss für beide Vektor-Tripel gelten. Es gilt: (b - c)/2 + s_a = -c c/2 + s_c = b .... Bestimme jetzt von oben: s_a = ... s_c = b - c/2 s_b = ... Und zum Ende soll/wird sich ergeben: s_a + s_b + s_c = $\begin{eqnarray} \vec 0 \end{eqnarray}$ Dort, wo die Pünktchen sind, musst du noch ein bisschen selbst rechnen. mY+
08.10.2019, 09:39	Clara57	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
08.10.2019, 17:36	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwerpunkt in einem Dreieck: Beweis für einen geschlossenen Vektorzug Falls schon so vieles vorausgesetzt werden darf, sollte das nicht mehr allzu schwer sein. (ich würde allerdings die Bezeichnungsweisen etwas anders wählen) Sei M der Mittelpunkt der Seite AB. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \vec{SA}\ =\ \vec{SM}\ +\ \vec{MA}\ =\ \frac{1}{3}\cdot \vec{CM}\,+\,\frac{1}{2}\cdot \vec{BA}\ =\ \frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\vec{c}-\vec b\right)\,-\,\frac{1}{2}\cdot \vec{c}\ \end{eqnarray}$ Dies kann man etwas zusammenfassen. Auf analoge Weise kann man dann die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{SB} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{SC} \end{eqnarray}$ mittels $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ darstellen und aus diesen Ergebnissen dann schließen, dass die Summe $\begin{eqnarray} \vec{SA}+\vec{SB}+\vec{SC} \end{eqnarray}$ den Nullvektor ergibt. Allerdings gäbe es geometrische Zugänge, die diesen Beweis kürzer und anschaulicher machen.
08.10.2019, 18:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann es auch so machen.

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