Dgl Aufgabe

07.10.2019, 22:52	Dgler	Auf diesen Beitrag antworten »
Dgl Aufgabe Hallo zusammen. Ich habe die folgende Aufgabe -> siehe Anhang. Ich habe natürlich versucht die Aufgabe zu lösen und würde gerne diese präsentieren. Zu a): Zunächst einmal habe ich $\begin{eqnarray} \hat{v}(t,x):= \frac{1}{\|\|v(t,x)\|\|} v(t,x) \end{eqnarray}$ berechnet. Dies ergibt: $\begin{eqnarray} \hat{v}(t,x):= \frac{1} {\sqrt{1+\frac{t^2}{x^2} } }\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{t}{x} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{t^2}{x^2} } } \\ \frac{t}{\sqrt{x^2+t^2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wie ich die Pfeile gezeichnet habe: Für den Punkt (t,x)=(-2,1) zeigt der Vektorpfeil etwa in Richtung (0,45 ; -0,9). Was mich bisschen verwirrt ist muss ich nun für die Punkte (-2,1),(-2,1,5), (-2,2),... das Vektorfeld zeichnen oder einfach nur für (-2,1) , (-1; 1,5), (0,2) .. also Komponentenweise? Zu b) (i) $\begin{eqnarray} x(t)=at^2+b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x'(t)=2at \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a=\frac{1}{2x} \end{eqnarray}$ und b=0 wird die Dgl also gelöst. (ii) $\begin{eqnarray} x(t)=\|t\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x'(t)=\frac{t}{\|t\|} \end{eqnarray}$ da die Fkt nur von t abhängt ist die Fkt keine Lösung der Dgl (iii) $\begin{eqnarray} x(t)=\sqrt{t^2+c^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x'(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+c^2} } \end{eqnarray}$ für c^2=x^2-t^2 wird die Dgl gelöst. Ich hoffe das alles stimmt so ? Auch mit dem Definitonsbereich.. c) Die Lösung der Dgl ist $\begin{eqnarray} . -\sqrt{t^2+2c} \end{eqnarray}$ mit c=8. Was könnte ich zur eindeutigkeit sagen ?
08.10.2019, 00:07	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) Graphen hier: Vektorfeld. Mit Stromlinien. Das Vektorfeld ist sicherlich für das kartesische Produkt zu zeichnen. zu b) (i) Warum soll $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ sein? Es genügt doch, wenn $\begin{eqnarray} a=\tfrac{1}{2x} \end{eqnarray}$ ist. Man bekommt dadurch allerdings eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Es kann sich also nicht um eine allgemeine Lösung handeln. (ii) Nee, das ist eine Lösung, erfüllt ja die Dgl. (iii) Wird für beliebiges $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ durch die Dgl. erfüllt. Das $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ lässt sich aus dem AWP $\begin{eqnarray} x(t_0)=x_0 \end{eqnarray}$ bestimmen. Damit kommen wir auch schon zu c) Setzt man (iii) für $\begin{eqnarray} x(0)=4 \end{eqnarray}$ ein, dann ergibt sich $\begin{eqnarray} \sqrt{0^2+c^2}=4 \end{eqnarray}$ , das bringt $\begin{eqnarray} \|c\|=4 \end{eqnarray}$ . Da da nur von $\begin{eqnarray} c^2 \end{eqnarray}$ die Rede ist, kann man $\begin{eqnarray} c\ge 0 \end{eqnarray}$ setzen. Natürlich kann man $\begin{eqnarray} 2\tilde c = c^2 \end{eqnarray}$ setzen, dann ist $\begin{eqnarray} 2\tilde c=16 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \tilde c=8 \end{eqnarray}$ . Wie du auf das Minuszeichen vor der Wurzel kommst, ist mir jetzt unverständlich. Es soll doch $\begin{eqnarray} x(0)=4 \end{eqnarray}$ sein und nicht $\begin{eqnarray} x(0)=-4 \end{eqnarray}$ .
08.10.2019, 00:50	Dgler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Finn danke für die Antwort. a) hat sich geklärt danke. Zu b): Ich glaube ich habe das noch nicht ganz verstanden Wie gehst du vor um zu überprüfen ob die Gleichung eine Lösung ist ? Zu c) Vermutlich hast du Recht sorry. Nur was kann ich zur Eindeutigkeit sagen? Danke
08.10.2019, 01:04	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Z.B. $\begin{eqnarray} x(t)=\|t\| \end{eqnarray}$ , da ist $\begin{eqnarray} x'(t)=\operatorname{sgn}(t)=\frac{t}{\|t\|} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t\ne 0 \end{eqnarray}$ . Setzt man $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x'(t) \end{eqnarray}$ jetzt in die Dgl. $\begin{eqnarray} x' = \tfrac{t}{x} \end{eqnarray}$ ein, dann ergibt sich $\begin{eqnarray} \frac{t}{\|t\|} = \frac{t}{\|t\|} \end{eqnarray}$ , was offenbar für alle $\begin{eqnarray} t\ne 0 \end{eqnarray}$ erfüllt ist. ---- Zum Nachweis der Eindeutigkeit lässt sich der folgende Satz anwenden. Sei $\begin{eqnarray} G\subseteq\mathbb R\times\mathbb R \end{eqnarray}$ ein Gebiet und $\begin{eqnarray} (t_0,x_0)\in G \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} f\colon G\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (t,x)\mapsto f(t,x) \end{eqnarray}$ stetig und lokal Lipschitz-stetig bezüglich $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Dann besitzt das AWP $\begin{eqnarray} x'=f(t,x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x(t_0)=x_0 \end{eqnarray}$ höchstens eine stetig differenzierbare Lösung $\begin{eqnarray} x\colon I\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ein beliebiges Existenzintervall mit $\begin{eqnarray} t_0\in I \end{eqnarray}$ ist. Beachte: Eine stetig differenzierbare reelle Funktion ist lokal Lipschitz-stetig.
08.10.2019, 01:33	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
»Lehrbuch der Analysis, Teil 1« von Heuser enthält noch einen einfacheren Satz für separable Dgln.: Die Funktionen $\begin{eqnarray} f\colon (a,b)\to\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g\colon (c,d)\to\mathbb R \end{eqnarray}$ seien stetig und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ habe keine Nullstellen. Dann gibt es für ein willkürliches $\begin{eqnarray} t_0\in (a,b) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_0\in (c,d) \end{eqnarray}$ genau eine Lösung des AWPs $\begin{eqnarray} x'=f(t)g(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x(t_0)=x_0 \end{eqnarray}$ . Sie existiert auf einem gewissen, $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ enhaltenden Teilintervall von $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ .
09.10.2019, 10:42	Dgler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Finn. Sorry für die späte Antwort. In unserem Fall wäre dann f: R -> R , f(t)= t Und g: R/{0} -> R , g(x)= 1/x stimmts ? Stimmt denn der Definitions und der Wertebereich der Funktionen? g hat keine Nullstellen und beide Funktionen sind in ihrem Definitionsbereich Stetig.Daher sollte es also eine eindeutige Lösung geben..
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09.10.2019, 23:18	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Da steht $\begin{eqnarray} g\colon (c,d)\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , dann muss man auch ein offenes Intervall wählen. Da $\begin{eqnarray} x_0\in (c,d) \end{eqnarray}$ sein soll und $\begin{eqnarray} x_0=4>0 \end{eqnarray}$ ist, wählt man $\begin{eqnarray} c:=0 \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} x\ne 0 \end{eqnarray}$ sein muss. Das $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ darf offenbar beliebig groß sein. Für $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gibt man am besten $\begin{eqnarray} f\colon (-b,b)\to\mathbb R \end{eqnarray}$ an mit $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ beliebig groß. Kannst du ein Existenzintervall $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ angeben, so dass $\begin{eqnarray} x\colon I\to\mathbb R \end{eqnarray}$ eine Lösung ist, hier $\begin{eqnarray} I=\mathbb R \end{eqnarray}$ , dann muss die Lösung auf $\begin{eqnarray} I\cap (-b,b) \end{eqnarray}$ eindeutig sein. Jede Stelle $\begin{eqnarray} t\in\mathbb R \end{eqnarray}$ lässt sich als $\begin{eqnarray} t\in(-b,b) \end{eqnarray}$ betrachten, da $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ beliebig groß gewählt werden kann. Daher muss die Lösung auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ eindeutig sein.

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