Dgl Aufgabe

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Dgler Auf diesen Beitrag antworten »
Dgl Aufgabe
Hallo zusammen. Ich habe die folgende Aufgabe -> siehe Anhang.

Ich habe natürlich versucht die Aufgabe zu lösen und würde gerne diese präsentieren.

Zu a):


Zunächst einmal habe ich berechnet. Dies ergibt:

.

Wie ich die Pfeile gezeichnet habe: Für den Punkt (t,x)=(-2,1) zeigt der Vektorpfeil etwa in Richtung (0,45 ; -0,9).

Was mich bisschen verwirrt ist muss ich nun für die Punkte (-2,1),(-2,1,5), (-2,2),...
das Vektorfeld zeichnen oder einfach nur für (-2,1) , (-1; 1,5), (0,2) .. also Komponentenweise?

Zu b)

(i)




für und b=0 wird die Dgl also gelöst.


(ii)

da die Fkt nur von t abhängt ist die Fkt keine Lösung der Dgl


(iii)




für c^2=x^2-t^2 wird die Dgl gelöst.

Ich hoffe das alles stimmt so ? Auch mit dem Definitonsbereich..


c)

Die Lösung der Dgl ist mit c=8. Was könnte ich zur eindeutigkeit sagen ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

zu a)
Graphen hier: Vektorfeld. Mit Stromlinien.

Das Vektorfeld ist sicherlich für das kartesische Produkt zu zeichnen.

zu b)
(i) Warum soll sein? Es genügt doch, wenn ist. Man bekommt dadurch allerdings eine quadratische Gleichung in . Es kann sich also nicht um eine allgemeine Lösung handeln.

(ii) Nee, das ist eine Lösung, erfüllt ja die Dgl.

(iii) Wird für beliebiges durch die Dgl. erfüllt.

Das lässt sich aus dem AWP bestimmen.

Damit kommen wir auch schon
zu c)

Setzt man (iii) für ein, dann ergibt sich
, das bringt . Da da nur von die Rede ist, kann man setzen.

Natürlich kann man setzen, dann ist , also .

Wie du auf das Minuszeichen vor der Wurzel kommst, ist mir jetzt unverständlich. Es soll doch sein und nicht .
 
 
Dgler Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Finn danke für die Antwort.

a) hat sich geklärt danke.

Zu b):

Ich glaube ich habe das noch nicht ganz verstanden verwirrt

Wie gehst du vor um zu überprüfen ob die Gleichung eine Lösung ist ?

Zu c) Vermutlich hast du Recht sorry. Nur was kann ich zur Eindeutigkeit sagen?

Danke smile Prost
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Z.B. , da ist für .

Setzt man und jetzt in die Dgl. ein, dann ergibt sich
,
was offenbar für alle erfüllt ist.

----

Zum Nachweis der Eindeutigkeit lässt sich der folgende Satz anwenden.

Sei ein Gebiet und . Sei , stetig und lokal Lipschitz-stetig bezüglich . Dann besitzt das AWP mit höchstens eine stetig differenzierbare Lösung , wobei ein beliebiges Existenzintervall mit ist.

Beachte: Eine stetig differenzierbare reelle Funktion ist lokal Lipschitz-stetig.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

»Lehrbuch der Analysis, Teil 1« von Heuser enthält noch einen einfacheren Satz für separable Dgln.:

Die Funktionen und seien stetig und habe keine Nullstellen. Dann gibt es für ein willkürliches und genau eine Lösung des AWPs mit . Sie existiert auf einem gewissen, enhaltenden Teilintervall von .
Dgler Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Finn. Sorry für die späte Antwort.

In unserem Fall wäre dann

f: R -> R , f(t)= t

Und g: R/{0} -> R , g(x)= 1/x
stimmts ?

Stimmt denn der Definitions und der Wertebereich der Funktionen?

g hat keine Nullstellen und beide Funktionen sind in ihrem Definitionsbereich Stetig.Daher sollte es also eine eindeutige Lösung geben..
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht , dann muss man auch ein offenes Intervall wählen. Da sein soll und ist, wählt man , weil sein muss. Das darf offenbar beliebig groß sein.

Für gibt man am besten an mit beliebig groß.

Kannst du ein Existenzintervall angeben, so dass eine Lösung ist, hier , dann muss die Lösung auf eindeutig sein. Jede Stelle lässt sich als betrachten, da beliebig groß gewählt werden kann. Daher muss die Lösung auf eindeutig sein.
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