Potenzturm von x

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Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzturm von x
sei

ein abzählbarer unendlicher Potenzturm von

Hat es überhaupt Sinn sich über ernsthaft Gedanken zu machen?
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzturm von x
https://www.wolframalpha.com/input/?i=de...5Ex%5Ex%5Ex%5Ex

Das lässt sich sicher eine Gesetzmäßigkeit ableiten.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die Folge , für . Das ist eine Fixpunktiteration. Angenommen, diese konvergiert. Da die Funktion stetig bezüglich ist, muss die Fixpunktgleichung erfüllen.

Die Gleichung lässt sich umformen zu

Mittels Lambert-W-Funktion ergibt sich daher

also


Es ergibt sich


Mittels Umkehrregel erhält man
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es sei noch ergänzt, für welche diese Betrachtungen Sinn machen, d.h. dieser Potenzturm überhaupt konvergiert:

Dazu muss im Definitionsbereich von diesem Lambert- liegen, das bedeutet . Für kommt dann Wert für den unendlichen Potenzturm heraus.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das sieht gut aus, samt Definitionsmenge.

Da ich die W-Funktion nicht kenne ging ich einfach mal hemdsärmelig so vor:

mit y als Potenzturm von x. Weiterhin mit xy multipliziert

oder letztendlich der rustikale Ausdruck

? Da könnte man noch ein wenig dran feilen... ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Unter Nutzung von kann man die von Finn genannte Ableitung auch zu umschreiben, damit ist dann

.

Insbesondere ergibt sich für die Annäherung an .




EDIT: Für (mit ) konvergiert der Potenzturm übrigens auch nicht: Die Folge scheint sich da alternierend zwei Häufungspunkten anzunähern, keiner von beiden ist obiges . Müsste man nochmal genauer untersuchen. Augenzwinkern
 
 
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe dazu auch hier:

https://math.stackexchange.com/questions...2443078#2443078

Und dort findet man auch noch die zweite Ableitung:

https://math.stackexchange.com/questions...n/617185#617185
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah Ok, also ist , hatte schon so eine Vermutung.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Ist für W-Unkundige meine Schreibfigur akzeptabel wenn man mal von der "Endlichkeit" des Turmes im Ausdruck absieht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Statt mit diesem Symbolungetüm würde ich mit dem von Finn eingeführten operieren. Dann folgt in der Tat aus ja und somit

,

das entspricht wohl deiner Formel.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Plotter enthält eine Funktion iter(f,n,Startwert), mit der sich die Funktion iterieren lässt.

Siehe Graph. Die folgende Abbildung zeigt den Potenzturm mit 200 Iterationen in Blau und in Grün. Die Linie in Magenta ist .

[attach]49797[/attach]

Es ist mittels für-Ausdrücken wie in Python auch möglich, eine Schar von Funktionen zu zeichnen. Siehe Graphen, das zeigt den Potenzturm für 10, 11, 100, 101, 500, 501 Iterationen.

Die folgende Abbildung zeigt den Potenzturm für 10, 11, 100, 101, 500, 501, 4000, 4001 Iterationen.

[attach]49798[/attach]

Wie HAL schon gesagt hat: Bei scheint eine Gabelung in zwei Häufungspunkte stattzufinden, die für Variation von stetige Funktionen zu bilden scheinen. Stellt sich die Frage, ob sich diese Funktionen als geschlossener Ausdruck angeben lassen.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sich die Folge zyklisch den Häufungspunkten nähert, sind ja die Teilfolgen und konvergent. Gemäß
und
führt uns das zur Fixpunktgleichung


Das sind also einfach Punkte im Graph der durch gegebenen impliziten Funktion. Siehe Graph.
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