Doppelintegral

09.10.2019, 15:54

SM!LE

Doppelintegral

Guten Tag,

ich habe einige Probleme mit dem Lösen einer Doppelintegralaufgabe gehabt und das Ergebnis stimmt mich jetzt auch nicht so zuversichtlich.
Ich würde mich freuen wenn ihr mal über meine Lösung schauen könntet.

Aufgabe:
Sei B der ebene Bereich $\begin{eqnarray*} B := \{~f(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y + x^2 \leq 1~,~ x + y \geq 1\} \end{eqnarray*}$
Man berechne das Integral

$\begin{eqnarray*} \iint_B{x~\sqrt{y}~dxdy} \end{eqnarray*}$ .

Mein Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} \iint_B{x~\sqrt{y}~dxdy}~=~\int_0^1{\int_{1-y}^{\sqrt{1-y^2}}{x~\sqrt{y}~dxdy}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\int_0^1{\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1-y}^{\sqrt{1-y^2}}\cdot\sqrt{y}~dy}~=~\frac{1}{2}\cdot\int_0^1{\left(y^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{5}{2}}\right)~dy} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow~\frac{1}{2}\cdot\left(\int_0^1{y^{\frac{3}{2}}~dy} -\int_0^1{y^{\frac{5}{2}}~dy}\right)~=~\frac{1}{2}\cdot\left(\left[\frac25\cdot y^{\frac{5}{2}}\right]_0^1-\left[\frac27 \cdot y^{\frac{7}{2}}\right]_0^1\right)~=~\frac12\cdot\left(\frac25-\frac27\right)=\underline{\underline{\frac{2}{35}VE}} \end{eqnarray*}$

Ich bin dankbar für jeden hilfreichen Tipp.

Vielen Dank für eure Mühen.

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE

09.10.2019, 17:43

Mathema

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RE: Doppelintegral
Huhu SM!LE,

Zitat:

Original von SM!LE
Sei B der ebene Bereich $\begin{eqnarray*} B := \{~f(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y + x^2 \leq 1~,~ x + y \geq 1\} \end{eqnarray*}$

Stimmt die Aufgabe so, oder fehlt noch ein Quadrat?

09.10.2019, 18:18

SM!LE

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Hab gerade nochmal nachgeschaut.
Die Aufgabe stimmt so, wenn es $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\leq1 \end{eqnarray*}$ wäre, dann würde es sich ja um die Fläche des Einheitskreises handeln oder?

Also die Angaben für B so sind korrekt bzw. stimmen sie mit der Aufgabenstellung überein.
Kann ja trotzdem sein, dass der Prof. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ geschrieben hat aber davon kann man ja erstmal nicht ausgehen.

09.10.2019, 21:38

Mathema

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RE: Doppelintegral

Zitat:

Original von SM!LE

$\begin{eqnarray*} \iint_B{x~\sqrt{y}~dxdy}~=~\int_0^1{\int_{1-y}^{\sqrt{1-y\textcolor{red}{^2}}}{x~\sqrt{y}~dxdy}} \end{eqnarray*}$

Dann ist dieses wohl nur ein Schreibfehler?! Du scheinst auch mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-y} \end{eqnarray*}$ zu rechnen.

09.10.2019, 21:47

SM!LE

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Oh ja entschuldige bitte.
Da muss mir beim Tippen ein Fehler unterlaufen sein.

Korrekt ich habe mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-y} \end{eqnarray*}$ gerechnet.

09.10.2019, 21:59

Mathema

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Dann sollte das so passen. Freude

Du könntest (zur Kontrolle und Übung) natürlich ja auch mal die Integrationsreihenfolge vertauschen und zunächst über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integrieren. Sollte dann den gleichen Wert ergeben.

Dir noch einen schönen Abend! smile

09.10.2019, 22:26

SM!LE

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Vielen Dank.
Ich war etwas verunsichert wegen dem doch recht kleinen Volumen was ich als Ergebnis herausbekommen habe.

Ich habe das ganze jetzt nochmal mit umgekehrter Integrationsreihenfolge berechnet und bin ebenfalls auf das Ergebnis gekommen.

Ich aber irgendwie Probleme mir die umgekehrte Integrationsreihenfolge "visuell" vorzustellen.

Bei der vorgegebenen Integrationsreihenfolge konnte ich mir das noch gut vorstellen, dass ich von $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$ integriere und die Fläche dann rechts durch die Funktion $\begin{eqnarray*} x+y\geq 1 \end{eqnarray*}$ und links durch die Funktion $\begin{eqnarray*} y+x^2\leq 1 \end{eqnarray*}$ begrenzt wird.

Wenn ich jetzt aber von $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ integriere kann ich mir nicht so recht vorstellen inwiefern da die beiden Funktionen die Fläche bergrenzen weiß aber auf Grund des Ergebnisses, dass ich die Grenzen korrekt gewählt habe. (untere Grenze $\begin{eqnarray*} 1-x \end{eqnarray*}$ und obere Grenze $\begin{eqnarray*} 1-x^2 \end{eqnarray*}$ )

Denke ich da zu kompliziert und an der Tatsache der Begrenzung der Fläche $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ändert sich nicht im geringsten etwas ? Nur, dass ich die begrenzenden Funktionen an dieser Stelle nicht nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sondern nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ umstellen muss?

11.10.2019, 20:44

Mathema

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Zitat:

Original von SM!LE
Nur, dass ich die begrenzenden Funktionen an dieser Stelle nicht nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sondern nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ umstellen muss?

Ja, viel mehr passiert dort eigentlich nicht. Wenn du noch mal üben möchtest, könntest du ja mal bei $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_{x}^{x(2-x)} \, f(x,y) \, \dd y \dd x \end{eqnarray*}$ die Reihenfolge ändern.

edit: Oder (da etwas dicht an der ursprünglichen Aufgabe) hier: $\begin{eqnarray*} \int_0^3 \int_{1}^{\sqrt{4-y}} \, f(x,y) \, \dd x \dd y \end{eqnarray*}$

12.10.2019, 00:18

klauss

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RE: Doppelintegral

Zitat:

Original von SM!LE
Sei B der ebene Bereich $\begin{eqnarray*} B :=\{\textcolor{red}{f}(x, y) \in \mathbb{R}^2 : ... \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{f} \end{eqnarray*}$ sollte da wohl auch nicht stehen.

Bei der Gelegenheit helfen vielleicht die beiden Bilder zur Visualisierung der Integralvertauschung.

12.10.2019, 12:56

SM!LE

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@Mathema

Wäre das so richtig ?

$\begin{eqnarray*} \int_0^1{\int_y^{1+\sqrt{1-y}}{f(x,y)~dxdy}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^2{\int_0^{4-x^2}{f(x,y)~dydx}} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank @klauss das hat mir sehr geholfen.
Ja das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gehört da auch nicht hin.

12.10.2019, 13:47

Mathema

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(2) ist richtig, (1) nicht. Freut mich, dass du dich noch mit diesen Aufgaben beschäftigt hast. Freude

12.10.2019, 18:56

SM!LE

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Ah ja stimmt.
Ich glaube ich habe meinen Fehler gefunden. (hoffe ich doch verwirrt

)

Wäre es so nun richtig ?

$\begin{eqnarray*} \int_0^1{\int_y^{1-\sqrt{1-y}}{f(x,y)}~dxdy} \end{eqnarray*}$

Natürlich beschäftige ich mich mit den Aufgaben auch wenn ich aktuell an diesem Wochenende etwas weniger Zeit habe. Freude

12.10.2019, 19:04

Mathema

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Wenn du nun noch die Grenzen tauscht habe ich keine Einwände. Du schaust ja von der y-Achse aus. Da ist der Parabelbogen die untere Grenze und die Gerade die obere Grenze.

Bei der anderen Aufgabe saß der Bogen ja "rechts" von der Geraden (siehe 2. Bild von Klaus), nun sitzt aber "links".

Ich denke aber du hast das Prinzip nun verstanden - ich habe somit keine weiteren Fragen.

Ich wünsche Dir ein schönes Wochenende!

smile

12.10.2019, 19:06

SM!LE

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Ah stimmt das hatte ich noch vergessen.
Vielen Dank für die Unterstützung.

Ebenfalls, danke smile

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