Schnitt zweier Funktionen mittels Newtonverfahrens

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brau.m80 Auf diesen Beitrag antworten »
Schnitt zweier Funktionen mittels Newtonverfahrens
Hallo zusammen,
ich grübel hier schon länger über einer Aufgabe, aber es fehlt mir der richtige Ansatz:

____________
Gegeben seien die Funktionen

und

Bestimmen Sie mit einem Iterationsverfahren Ihrer Wahl alle Schnittpunkte der beiden
Funktionen auf jeweils drei Nachkommastellen genau.
Weisen Sie nach, dass Sie alle
Schnittpunkte gefunden haben.
____________

Ich würde jetzt zuerst die beiden Funktionen gleichsetzen, also f(x)-p(x)=0



Das nach x aufgelöst ergibt die Schnittpunkte S1(1.334|1.683) und S2(2.495|2.968)

so und nun weiss ich nicht weiter....
man soll ja das Newtonverfahren verwenden

kann mir hier bitte einer weiterhelfen?

Vielen vielen Dank
hawe Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, das Newtonverfahren mit Deiner Funktion f



führt zu z.B.
IterationList(Newton(x), 1,3)
>
und das selbe nochmal mit z.B. Startwert 3 statt 1 ...
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnitt zweier Funktionen mittels Newtonverfahrens
Was mich etwas stutzig macht ist diese Passage:

Zitat:
Original von wolpertinger131
Das nach x aufgelöst ergibt die Schnittpunkte S1(1.334|1.683) und S2(2.495|2.968)

so und nun weiss ich nicht weiter....
man soll ja das Newtonverfahren verwenden


Punkt 1: Wie hast Du das aufgelöst, ohne ein Näherungsverfahren?
Punkt 2: Wo steht, dass man das Newtonverfahren nutzen muss? Im ersten Teil war von einem Verfahren deiner Wahl die Rede und das kann auch ein anderes sein. Newton ist nur am effektivsten unter den gängigen Verfahren.

Wie man die Nullstellen von f(x)-p(x) bestimmen könnte hat Dir hawe ja schon beschrieben, wobei er bereits einen Lösungsalgorithmus einsetzt. Sollte das nicht erlaubt sein, wäre Handarbeit mit dem guten alten Taschenrechner gefragt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnitt zweier Funktionen mittels Newtonverfahrens
Zitat:
Original von wolpertinger131
...
man soll ja das Newtonverfahren verwenden
...

Eben. Also, mit welchem Verfahren willst du es machen bzw. welches steht dir zur Verfügung?
----
Ich denke, wenn man so vorgeht, wie von hawe beschrieben, ist es ja nett, aber dann kann man es gleich mit einem Solver - wie du es eh schon gemacht hast - berechnen.
Ob das so im Sinn des Aufgabenstellers gewesen ist?

Vielleicht solltest du die einzelnen Iterationsschritte detaillierter aufschreiben.
Die eigentliche Berechnung kann dabei aber ohne Weiteres mit einem CAS (z.B. Excel) bewerkstelligt werden.
Der Sinn ist, dass das Verständnis des Newtonverfahrens zu erkennen ist.

Es gibt hier im Board genug Threads dazu. Bemühe die Boardsuche hier mittels "Newton" o.ä.

Und wie willst du zeigen, dass es nur zwei Schnittpunkte gibt?

mY+
brau.m80 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen, und ersteinmal vielen Dank für die Hinweise!!

Ich kann jedes Iterationsverfahren wählen, habe mich jedoch für das Newtonverfahren entschieden.
Ist allerdings kein muss, falls es etwas besseres gibt.

Ich würde jetzt zuerst die beiden Funktionen gleichsetzen, also f(x)-p(x)=0

Dadurch habe ich ja die neue Funktion y(x)=

Hier wähle ich nun das Intervall von [-5,5], setze die Werte ein und bekomme folgende Stellen:

-5 35,3302
-4 26,5344
-3 19,2447
-2 13,5404
-1 9,3109
0 5,8750
1 1,7183
2 -2,6250
3 17,0855
4 216,2676
5 1335,7184

Das würde bedeuten, dass ich zwei Schnittpunkte habe, nämlich zwischen 1-2 und 2-3



Jetzt setze ich zuerst die Stelle 1,7183 ein und bekomme folgende Werte:

1,7183 1,347467838
1,3475 1,334104405
1,3341 1,33440222
1,3344 1,334393364
1,3344 1,334393626
1,3344 1,334393618

x1 ist als 1,3344

Die nächste Stelle wäre 17,0855
Hier bekomme ich folgende Werte:

17,0855 12,05699997
12,0570 8,704664389
8,7047 6,469757545
6,4698 4,980004985
4,9800 3,988788945
3,9888 3,335521766
3,3355 2,918113207
2,9181 2,671962834
2,6720 2,550673037
2,5507 2,507523645
2,5075 2,497147079
2,4971 2,49519016
2,4952 2,494847357
2,4948 2,494788188
2,4948 2,494778002

x1 ist als 2,4948

Das heißt meine Schnittpunkte sind bei 1,3344 und 2,4948



Stimmt das so? Kann dieses Ergebnis jemand verifizieren?

Leider kann ich keine Exceltabelle einfügen, dashalb hier die Formeln, falls diese benötigt werden:

Für die Berechnung der Stützstellen (in A3 war der Startwert von x):
=((A3-2)^2)*(EXP(A3))+((15/24)*A3^2)-((21/6)*A3)+(15/8)

Für die Werte von x (in B20 war der Startwert von x):
=B20-(((B20-2)^2*EXP(B20))+((15/24)*B20^2)-((21/6)*B20)+(15/8))/((2*(B20-2)*EXP(B20))+((B20-2)*EXP(B20))+((5/4)*B20-(7/2)))

Edit (mY+): Ich habe im Text vergessene x eingefügt und die Vorzeichen in + bei 15/8 (in rot) korrigiert. Tippfehler hoffentlich (?)
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du mit Regula Falsi arbeitest, kann du auf die Ableitung verzichten.
Und noch viel robuster ist das Eingabeln.
Das ist theoretisch langsamer, was aber (heutzutage) keine Rolle spielen sollte.


hawe Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

meine Formeln beziehen sich auf GeoGebra (solltest Du mal anschauen)

Deine End-Ergebnisse stimmen...

Wenn man die Spalte A als x benennt (x=A:A) ergibt sich die Tabelle zu
[attach]49799[/attach]

Wenn man eine Nullstelle zwischen 2-3 vermutet, wird man wohl kaum bei 17,... anfangen sondern vielleicht 3 als Startwert wählen auch einen für y ermittelten Wert wird man nicht als Startwert wählen, sondern "in der Nähe" bleiben...
Du hast die Nullstellen zwischen 1-2 und 2-3 eingegrenzt
===>
Startwert 1 ....
Startwert 3 ....
bei einem Startwert 2 weiß man nicht in welcher Richtung die Folge konvergiert...
brau.m80 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank an alle.
Dann kann ich mich ja der nächsten Aufgabe widmen Hammer
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bleiben wir noch bei Excel.

Wie schon in anderen Threads erwähnt (bitte suchen!), ist es NICHT notwendig, die Ableitung der Funktion zu kennen.
Wir können den Differentialquotienten durch den Differenzenquotienten mit hinreichend kleinem h ersetzen, wobei der Wert von h völlig unkritisch ist (h im Bereich von 0,0001).



Mit der Namensgebung x für die Spalte, in der die x-Werte stehen und dem Namen h für die Zelle mit dem Wert für h kann man dann die zu lösende Gleichung direkt eingeben:

[f(x) =] (x-2)^2*exp(x)+(5/8)*x^2-(7/2)*x+15/8 und
[f '(x) ~] ((x+h-2)^2*exp(x+h)+(5/8)*(x+h)^2-(7/2)*(x+h)-(x-2)^2*exp(x)-(5/8)*x^2+(7/2)*x)/h

und die Rechnung wird relativ einfach. Wir haben schon bei der 3. Iteration nur noch einen Fehler im Bereich .
Und mehr oder weniger gratis wird noch ein Plot mitgeliefert, was will man mehr?

[attach]49801[/attach]

Ich kann nach Wunsch auch das Excel-File anhängen (und ev. darin auch den Weg mit der Regula Falsi inkludieren).
Zu deiner Information: Die Excel-Datei kann man nicht direkt senden, sondern muss sie zuerst in ein ZIP-Archiv packen, dann geht das Hochladen.

mY+
brau.m80 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke für die ausführliche Antwort! Freude
Über die Excel würde ich mich freuen, dann kann ich mir das noch anderweitig ansehen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne Augenzwinkern

Die Regula Falsi wurde in den Anfangs-Intervallen [1.2 ; 1.4] und [2.45; 2.50] durchgeführt.

[attach]49803[/attach]

und hier noch die Excel-Dateien (Office alt/neu)

[attach]49804[/attach]

Gr mY+
brau.m80 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankscheeeeee Freude
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