Distributivgesetz Vereinigungsmenge beweisen

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09.10.2019, 17:25	TheBeast8	Auf diesen Beitrag antworten »
Distributivgesetz Vereinigungsmenge beweisen Meine Frage: Hallo Community, Ich soll die Vereinigungsmenge des Distributivgesetzes beweisen: [latex]S\cup (M\cap N) = (S\cup M)\cap (S\cup N)[\latex] [latex]A:= S\cup (M\cap N)[\latex] [latex]B := (S\cup M)\cap (S\cup N)[\latex] Meine Ideen: Ich beweise erst A = B durch [latex]A\subset B und B\subset A[\latex]. Dadurch hab ich dann das Problem in 2 Teilschritte aufgeteilt. "[latex]A\subset B[\latex]" : Sei [latex]x\in A[\latex}. Dann ist [latex]x\in S[\latex] oder gleichzeitig [latex]x\in M[\latex] und [latex]x\in N[\latex]. Falls [latex]x\in S[\latex] ist, so ist [latex]x\in S[\latex] oder [latex]x\in M[\latex] und [latex]x\in S[\latex] oder [latex]x\in N[\latex]in [latex]x\in B[\latex] enthalten. Falls [latex]x\in M[\latex] und [latex]x\in N[\latex] ist, so ist [latex]x\in M[\latex] oder [latex]x\in S[\latex] und [latex]x\in N[\latex] oder [latex]x\in S[\latex] in [latex]x\in B[\latex] enthalten. "[latex]B\subset A[\latex]" Sei [latex]x\in B[\latex}. Dann ist [latex]x\in S\cup M[\latex] und [latex]x\in S\cup N[\latex]. Falls [latex]x\in S\cup M[\latex] ist, so ist [latex]x\in S[\latex] oder [latex]x\in M[\latex], also auch [latex]x\in M und N[\latex] in [latex]S\cup (M\cap N)[\latex] enthalten. Falls [latex]x\in S\cup N[\latex] ist, so ist [latex]x\in S[\latex] oder [latex]x\in N[\latex], also auch [latex]x\in M und N[\latex] in [latex](S\cup M)\cap (S\cup N)[\latex] enthalten. Die Frage ist, ob das so formal richtig ist. Vielen Dank für die Bemühungen.
09.10.2019, 17:41	G091019	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Distributivgesetz Vereinigungsmenge beweisen Text unleserlich.
09.10.2019, 17:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ [/latex] statt $\begin{eqnarray} [\latex] \end{eqnarray}$ , dann funktioniert's.
09.10.2019, 17:58	TheBeast8	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Distributivgesetz Vereinigungsmenge beweisen Hallo Community, Ich soll die Vereinigungsmenge des Distributivgesetzes beweisen: $\begin{eqnarray} S\cup (M\cap N) = (S\cup M)\cap (S\cup N) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A:= S\cup (M\cap N) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B := (S\cup M)\cap (S\cup N) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich beweise erst A = B durch $\begin{eqnarray} A\subset B und B\subset A \end{eqnarray}$ . Dadurch hab ich dann das Problem in 2 Teilschritte aufgeteilt. " $\begin{eqnarray} A\subset B \end{eqnarray}$ " : Sei $\begin{eqnarray} x\in A \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} x\in S \end{eqnarray}$ oder gleichzeitig $\begin{eqnarray} x\in M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in N \end{eqnarray}$ . Falls $\begin{eqnarray} x\in S \end{eqnarray}$ ist, so ist $\begin{eqnarray} x\in S \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x\in M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in S \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x\in N \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x\in B \end{eqnarray}$ enthalten. Falls $\begin{eqnarray} x\in M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in N \end{eqnarray}$ ist, so ist $\begin{eqnarray} x\in M \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x\in S \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in N \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x\in S \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x\in B \end{eqnarray}$ enthalten. " $\begin{eqnarray} B\subset A \end{eqnarray}$ " : Sei $\begin{eqnarray} x\in B \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} x\in S\cup M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in S\cup N \end{eqnarray}$ . Falls $\begin{eqnarray} x\in S\cup M \end{eqnarray}$ ist, so ist $\begin{eqnarray} x\in S \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x\in M \end{eqnarray}$ , also auch $\begin{eqnarray} x\in M und N \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} S\cup (M\cap N) \end{eqnarray}$ enthalten. Falls $\begin{eqnarray} x\in S\cup N \end{eqnarray}$ ist, so ist $\begin{eqnarray} x\in S \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x\in N \end{eqnarray}$ , also auch $\begin{eqnarray} x\in M und N \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (S\cup M)\cap (S\cup N) \end{eqnarray}$ enthalten. Die Frage ist, ob das so formal richtig ist. Vielen Dank für die Bemühungen.
09.10.2019, 18:21	TheBeast8	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir
09.10.2019, 19:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du möchtest das Distributivgesetz des Teilmengenverbands $\begin{eqnarray} (\Omega,\cap, \cup) \end{eqnarray}$ beweisen für eine Menge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} S,M,N\subseteq \Omega \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} x\in S\cup (M\cap N)\Rightarrow x\in S\vee (x\in M\wedge x\in N) \end{eqnarray}$ 1. $\begin{eqnarray} x\in S\Rightarrow x\in S\cup M \wedge x\in S\cup N\Rightarrow x\in (S\cup M)\cap (S\cup N) \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} x\in M\wedge x\in N\Rightarrow x\in S\cup M \wedge x\in S\cup N\Rightarrow x\in (S\cup M)\cap (S\cup N) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x\in (S\cup M)\cap (S\cup N) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow S\cup (M\cap N)\subseteq (S\cup M)\cap (S\cup N) \end{eqnarray}$ Die andere Richtung geht ähnlich. Reiner Formalismus ist nicht sinnvoll, etwas überlegen ist hilfreich, wenn man etwas beweisen möchte. Kant hat gesagt: "Habe Mut, dich deines eigenen Verstandes zu bedienen."
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10.10.2019, 11:10	TheBeast8	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die andere Richtung geht es dann so, dass $\begin{eqnarray} x\in (S\cup M)\cap (S\cup N) \Rightarrow x\in (S\vee M)\wedge (S\vee N) \end{eqnarray}$ 1. $\begin{eqnarray} x\in (S\vee M) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\in S\cup (M\wedge N) \Rightarrow x\in S\cup (M\cap N) \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} x\in (S\vee N) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\in S\cup (M\wedge N) \Rightarrow x\in S\cup (M\cap N) \end{eqnarray}$ es so ist? Bitte Anmerken, ob dies richtig bzw. falsch ist.
10.10.2019, 11:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist falsch, weil 1. oder 2. nicht gelten muss, also schon gar nicht 1. und 2. Wie schon gesagt, genügen Formeln nicht. Jede einzelne Aussage und jeder logische Schluss muss in Gedanken und Worten begründet werden.
18.10.2019, 12:04	TheBeast8	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab es nochmal überlegt und probiert: $\begin{eqnarray} x\in (S\cup M)\cap (S\cup N) \Rightarrow x\in (S\vee M)\wedge (S\vee N) \end{eqnarray}$ 1. $\begin{eqnarray} x\in S \Rightarrow x\in S\cup (M\cap N) \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} x nicht \in S \Rightarrow x\in M und x\in N \Rightarrow x\in M\cap N \end{eqnarray}$ Bitte korrigiere mich, wenn etwas falsch ist.
18.10.2019, 12:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist richtig, jetzt kann man das noch schön aufschreiben: $\begin{eqnarray} x\in (S\cup M)\cap (S\cup N)\Rightarrow x\in S\cup M \wedge x\in S\cup N \end{eqnarray}$ Fall 1 : $\begin{eqnarray} x\in S\Rightarrow x\in S\cup (S\cap N) \end{eqnarray}$ Fall 2 : $\begin{eqnarray} x\notin S\Rightarrow x\in M\wedge x\in N\Rightarrow x\in M\cap N\Rightarrow x\in S\cup (M\cap N) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (S\cup M)\cap (S\cup N)\subseteq S\cup (M\cap N) \end{eqnarray}$

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