Homöomorphismus

10.10.2019, 00:36	lotn	Auf diesen Beitrag antworten »
Homöomorphismus Meine Frage: Hi, meine Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass R* homöomorph zu [0,1] C R ist. R* soll die Erweiterung von R mit +- unendlich sein. . Meine Ideen: Stetige Abbildungen finde ich soweit, allerdings macht mir die Bijektivität zu schaffen. Muss ich mit der e-Funktion arbeiten? Verzeiht mir die Schreibweise, ich hoffe es ist soweit verständlich.
10.10.2019, 01:27	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutze defür eine Sigmoidfunktion, z.B. tanh, das bringt $\begin{eqnarray} \varphi(x):=\lim_{a\to x} (\tfrac{1}{2}\tanh(a)+\tfrac{1}{2}). \end{eqnarray}$
10.10.2019, 20:58	lotn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Finn_, danke für die Antwort! Ich habe zwar mit den trigonometrischen Funktionen gearbeitet, jedoch gekonnt die hyperbolischen übersehen. Ich denke, dass die folgende Funktion es auch tut: f(x) := 1/1+e^-x für R 0 für - unendlich 1 für + unendlich
10.10.2019, 21:10	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, das ist eigentlich fast die gleiche Funktion, es gilt $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2}\tanh(x)+\tfrac{1}{2} = \frac{1}{e^{-2x}+1}. \end{eqnarray}$
10.10.2019, 23:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder wie wäre es mit $\begin{align} y = \frac{x}{1 + \|x\|} \, , \ x \in [-\infty,\infty] \end{align}$ und der Umkehrabbilung $\begin{align} x = \frac{y}{1-\|y\|} \, , \ y \in [-1,1] \end{align}$ Hier eine Veranschaulichung.
11.10.2019, 19:56	lotn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, mit deiner Abbildung triffst du das Intervall [-1,1]. Es wird eine Abbildung gesucht, die das Intervall [0,1] trifft. Trotzdem danke!
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11.10.2019, 22:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja kein echtes Problem. $\begin{align} f(x) = \frac{x}{1 + \|x\|} \, , \ x \in [- \infty, \infty] \end{align}$ muß nur leicht modifiziert werden. Kompakte Intervalle in $\begin{align} \mathbb{R} \end{align}$ sind doch stets homöomorph. Schaltet man die lineare Funktion $\begin{align} l(x) = \frac{1}{2} \left( x+1 \right) \, , \ x \in [-1,1] \end{align}$ nach, so leistet $\begin{align} g = l \circ f \end{align}$ das Gewünschte.

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