Interpolationsfehler Kontrolle

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brau.m80 Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolationsfehler Kontrolle
Hallo zusammen,

folgende Aufgabe habe ich berechnet, jedoch bin ich mir nicht sicher, ob es stimmt.
Da diese Aufgabe sehr wichtig ist, hoffe ich, dass jemand evtl das Ergebnis verifizieren kann, oder falls irgendwo ein Fehler ist mir weiterhilft.
Dank schon mal im Voraus.

Also hier die Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion
a) Bestimmen Sie das Polynom zweiten Grades, das diese Funktion an den Stellen x_0=-1 , x_1=0 und x_2=1 interpoliert.
b) Geben Sie eine möglichst genaue Abschätzung des Interpolationsfehlers auf dem Intervall
[-1,1] an.


Ich habe nun zuerst die Lagrangepolynome aufgestellt:





einsetzen der x-Werte ergibt:





Stützwerte:





Hieraus ergibt sich das Polynom 2. Grades:






Nun will ich den Interpolationsfehler im Intervall [-1,1] bestimmen:



Das heißt, dass der Zähler maximal 1 ist.

Die Funktion

nimmt das Maximum an der ersten Ableitung an, also

deswegen folgt für jedes x [-1,1]



=0,288675


Sodala... hoffe das stimmt so verwirrt
brau.m80 Auf diesen Beitrag antworten »

Hat keiner nen kleinen Hinweis? traurig
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das richtige Polynom 2. Grades lautet



und dieses geht durch die Punkte (-1; -3.7), (0; -2) und (1; 0.7)

Im Hinblick darauf kann ich deine Rechnung nicht nachvollziehen. Keine Ahnung, was die - Werte bei den Lagrange-Polynomen machen.
Abgesehen davon ist die Rechnung mittels Lagrange-Polynomen nicht gerade die einfachste, das Ausgleichspolynom kann man weit billiger bekommen.

Immerhin wird auch die Lagrange-Methode das richtige Polynom liefern:

Die Basisfunktionen mit den jeweiligen zusammen () sind , und , zusammen ergeben sie .

Auch die Berechnung des Interpolationsfehlers ist für mich undurchsichtig.

Die Differenzfunktion , die den Fehler angibt, hat ihre Extremstellen bei +/- 0.6687
Der absolute Funktionswert dort ist 0.107 und dies ist denn auch der maximale absolute Fehler.

mY+
brau.m80 Auf diesen Beitrag antworten »

Oha... ich habe die falschen Werte für x eingesetzt Hammer
Jetzt nochmal von vorne.... danke für den Hinweis, da hätte ich auch selber drauf kommen können verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
So sieht's aus
Die dürften also offensichtlich von einer anderen (goniometrischen) Funktion stammen?
---------
Nun sehen wir uns das Ganze noch in einer Grafik an ...

[attach]49810[/attach]

mY+
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