2 Dgls

10.10.2019, 14:02

Dgler

2 Dgls

Meine Frage:
Hallo alle zusammen. Ich habe die folgenden Dgls:

(1): $\begin{eqnarray*} x'(t)= cos(t)*x \end{eqnarray*}$

(2): $\begin{eqnarray*} x'(t)= cos(t)*x+cos(t) und x(0)=1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zu (1):

Ansatz: Trennung der Variablen.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{x} f(x) \, dx = \int_{}^{} \! cos(t) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(|x|)+c_2 =sin(t)+c_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(|x|) =sin(t)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x| =e^{sin(t)+c} \end{eqnarray*}$

Da die Rechte Seite Positiv ist können wir den Betrag weglassen und es folgt:

$\begin{eqnarray*} x=e^{sin(t)} c \end{eqnarray*}$ mit c>=0

Stimmt das so?

und zur (2)

Ähnliches Prinzip:

$\begin{eqnarray*} ln(|x+1|)-ln(2)=sin(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(|x+1|)=sin(t)+ln(2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x+1|=e^{sin(t)+ln(2)} \end{eqnarray*}$

Hier ist es dann genauso, da die Rechte Seite Positiv ist können wir den Betrag weglassen und es gilt

$\begin{eqnarray*} x=2e^{sin(t)} -1 \end{eqnarray*}$

10.10.2019, 14:24

klarsoweit

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RE: 2 Dgls

Zitat:

Original von Dgler
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{x} f(x) \, dx = \int_{}^{} \! cos(t) \, dt \end{eqnarray*}$

Das f(x) hat in dem Integral nichts zu suchen.

Zitat:

Original von Dgler
Da die Rechte Seite Positiv ist können wir den Betrag weglassen und es folgt:

$\begin{eqnarray*} x=e^{sin(t)} c \end{eqnarray*}$ mit c>=0

Stimmt das so?

Da hast du falsch gefolgert. Es könnte ja auch $\begin{eqnarray*} x = -c \cdot e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$ sein. smile

10.10.2019, 14:28

Dgler

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RE: 2 Dgls
Hallo und danke für die Antwort.

Naja das c kommt ja von e^c.
Ich hätte es vllt anders nennen sollen e^c = d.
d ist also immer Positiv.

Daher ist auch d* e^sin(t) stets positiv.. so besser ?

10.10.2019, 14:50

klarsoweit

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RE: 2 Dgls
Vielleicht hast du mich nicht richtig verstanden. Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x = -c \cdot e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$ zeigt deutlich, daß das x negativ sein kann. Dennoch wäre auch da $\begin{eqnarray*} |x| = c \cdot e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$ erfüllt. Aus einem positiven Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} c \cdot e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$ kannst du also nicht folgern, daß x positiv sein muß.

Anders gesagt: aus |x| = 2 kannst du nicht ablesen, daß x > 0 sein muß. x = -2 wäre auch eine Option. smile

10.10.2019, 15:08

Dgler

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RE: 2 Dgls
Achso. Danke für den Hinweis. Ich verstehe was du meinst.

Ich versuche es dann nocheinmal:

zu (1):

$\begin{eqnarray*} |x|=e^{sin(t)}d \end{eqnarray*}$ mit d>0.

Betrag auflösen ergibt einmal

$\begin{eqnarray*} x=e^{sin(t)}d \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>=0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} x=-e^{sin(t)}d \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ kann man das nicht anders aufschreiben verwirrt

10.10.2019, 16:33

Dgler

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RE: 2 Dgls
Hallo jemand da ?

11.10.2019, 08:39

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RE: 2 Dgls
Bitte nicht pushen. Obwohl ich zum Augenarzt mußte, kann ich immer noch sehen, wenn jemand geantwortet hat.
Deine Lösungen passen jetzt, wobei in der Aufgabe nicht klar ist, ob die Anfangsbedingung x(0)=1 nur zur 2. Aufgabe gehört oder zu beiden.

Bei der 2. Aufgabe mußt du an dieser Stelle:

Zitat:

Original von Dgler
$\begin{eqnarray*} |x+1|=e^{sin(t)+ln(2)} \end{eqnarray*}$

Hier ist es dann genauso, da die Rechte Seite Positiv ist können wir den Betrag weglassen und es gilt

$\begin{eqnarray*} x=2e^{sin(t)} -1 \end{eqnarray*}$

ebenfalls die Argumentation anpassen.

11.10.2019, 20:03

Dgler

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RE: 2 Dgls
Tut mir leid :/

Kann ich dann bei der ersten Aufgabe die Lösung zusammenfassen?
Etwa so:

x= +- e^(sin(t))d = ke^(sin(t)) mit k=-+d und x aus R. Außerdem lasse ich k=0 zu dann hätte ich noch die partikuläre Lösung dazu. Geht doch oder ? verwirrt

13.10.2019, 11:30

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RE: 2 Dgls
Aufgabe 1 ist ein Beispiel für eine homogene lineare Dgl. Die Lösung $\begin{eqnarray*} x(t) = e^{sin(t))} \end{eqnarray*}$ ist eine Basis des Lösungsraums der Dgl. Jede weitere Lösung (also auch die Nullfunktion) ist ein Vielfaches dieser Basis. Obendrein gibt es keine von Null verschiedene partikuläre Lösung, da die Dgl - wie schon gesagt - homogen ist.
Bei der 2. Aufgabe kommt im Unterschied zur 1. Aufgabe die Inhomogenität cos(t) hinzu. smile

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