Irreduzibel in Z[3]

10.10.2019, 14:39	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibel in Z[3] Hallo miteinander Meine Frage ist evtl. banal, aber: Wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} 1 + 2 \sqrt{3} \end{eqnarray}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray} \mathbb Z[3] \end{eqnarray}$ ist? Danke für alle Hinweise!
10.10.2019, 17:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist wohl ein Schreibfehler und es soll die Wurzel von 3 adjungiert werden. In solchen Ringen betrachtet man die sogenannte Norm, hier $\begin{align} N: \mathbb{Z} \left[ \sqrt{3} \right] \to \mathbb{Z} \end{align}$ . Für $\begin{align} \vartheta = a + b \sqrt{3} \end{align}$ mit $\begin{align} a,b \in \mathbb{Z} \end{align}$ ist sie durch $\begin{align} N(\vartheta) = a^2 - 3b^2 \end{align}$ definiert. Man kann zeigen, daß die Norm mit der Multiplikation verträglich ist $\begin{align} N(\eta \vartheta) = N(\eta) N(\vartheta) \end{align}$ Ein Element $\begin{align} \vartheta \end{align}$ ist genau dann eine Einheit des Ringes, wenn $\begin{align} N(\vartheta) = \pm 1 \end{align}$ ist. Jetzt versuche, aus der Annahme, daß $\begin{align} \vartheta = 1 + 2 \sqrt{3} \end{align}$ zerlegbar wäre, mit Hilfe der Norm einen Widerspruch zu erzeugen.
13.10.2019, 14:19	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen Dank Leopold! Wie würde es mit dem Element 37 ausschauen? Ist das reduzibel in $\begin{eqnarray} \mathbb Z[\sqrt{3}] \end{eqnarray}$ ?
13.10.2019, 15:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, 37 ist zerlegbar. Man findet $\begin{align} \eta, \vartheta \in \mathbb{Z} \left[ \sqrt{3} \right] \end{align}$ , so daß $\begin{align} 37 = \eta \vartheta \ \ \text{mit} \ \ N(\eta) = 37 \, , \ N(\vartheta) = 37 \end{align}$ gilt.

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