Beweis: Die Wurzeln zweier Primzahlen sind linear unabhängig |
10.10.2019, 19:23 | Fenrath | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beweis: Die Wurzeln zweier Primzahlen sind linear unabhängig Seien zwei verschiedene Primzahlen. Zeigen Sie, dass linear unabhängig über sind. Das heißt, falls für , so muss gelten. Nun versuche ich einen Beweis durch Widerspruch, indem ich annehme, es existiere ein , sodass gilt. Dann kann ich folgern: , da und irrational sind. Da jedoch vorausgesetzt wurde, kommt es hier zum Widerspruch. Ist meine Schlussfolgerung so richtig? Ich zweifle immer, wenn meine Lösung kürzer ist, als die Aufgabenstellung Edit: Das sollte eigentlich ins Forum Hochschulmathematik/Sonstiges. Wäre nett, wenn das jemand verschieben könnte |
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10.10.2019, 20:55 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist keine ausreichende Begründung: Für p=2,q=8 sind die beiden Zahlen und auch irrational, ihr Quotient ist es indes nicht. |
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11.10.2019, 08:44 | Fenrath | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für den Hinweis. Bin ich denn mit einem Beweis durch Widerspruch auf der richtigen Spur? |
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11.10.2019, 11:48 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist schon der richtige Weg, wie generell bei solchen Irrationalitätsbeweisen, also ungefähr so: Die Annahme der Existenz eines solchen führt zu . Die rationale Zahl rechts kann man als mit teilerfremden ganzen Zahlen schreiben. Es folgt dann durch Quadrierung bzw. umgestellt . Aus der Verschiedenheit und damit Teilerfremdheit der Primzahlen folgt und damit . Ansatz führt zu und damit auch , woraus folgt, Widerspruch zur Teilerfremdheit von . |
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11.10.2019, 13:46 | Fenrath | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen. |
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