Beweis: Die Wurzeln zweier Primzahlen sind linear unabhängig

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Fenrath Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Die Wurzeln zweier Primzahlen sind linear unabhängig
Folgende Aufgabe soll ich lösen:

Seien zwei verschiedene Primzahlen. Zeigen Sie, dass linear unabhängig über sind. Das heißt, falls für , so muss gelten.

Nun versuche ich einen Beweis durch Widerspruch, indem ich annehme, es existiere ein , sodass gilt. Dann kann ich folgern:

, da und irrational sind. Da jedoch vorausgesetzt wurde, kommt es hier zum Widerspruch.

Ist meine Schlussfolgerung so richtig? Ich zweifle immer, wenn meine Lösung kürzer ist, als die Aufgabenstellung verwirrt

Edit: Das sollte eigentlich ins Forum Hochschulmathematik/Sonstiges. Wäre nett, wenn das jemand verschieben könnte smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fenrath
, da
und irrational sind.

Das ist keine ausreichende Begründung: Für p=2,q=8 sind die beiden Zahlen und auch irrational, ihr Quotient ist es indes nicht.
 
 
Fenrath Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für den Hinweis. Bin ich denn mit einem Beweis durch Widerspruch auf der richtigen Spur?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist schon der richtige Weg, wie generell bei solchen Irrationalitätsbeweisen, also ungefähr so:

Die Annahme der Existenz eines solchen führt zu .

Die rationale Zahl rechts kann man als mit teilerfremden ganzen Zahlen schreiben. Es folgt dann durch Quadrierung bzw. umgestellt .

Aus der Verschiedenheit und damit Teilerfremdheit der Primzahlen folgt und damit . Ansatz führt zu und damit auch , woraus folgt, Widerspruch zur Teilerfremdheit von .
Fenrath Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen.
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