Grenzwert einer Reihe bestimmen

10.10.2019, 20:22

Mona489

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Grenzwert einer Reihe bestimmen

Meine Frage:
Könnt ihr mir bitte einen Hinweis geben, wie sich der Grenzwert der folgenden Reihe bestimmen lässt?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß einfach nicht, wie sich der Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{2}+1} \end{eqnarray*}$ in eine für unsere Zwecke geeignete Form bringen lässt ... Bitte helft mir!

10.10.2019, 20:42

Mathema

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Da hilft ein Blick dort:

http://www.supermath.info/InfiniteSeries...idueTheorem.pdf

10.10.2019, 20:47

mona489

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RE: Grenzwert einer Reihe bestimmen
Danke für den Tipp! Nur wirkt das wie ein ganz neuer Themenkomplex - meinst du, ich muss das als Erstsemestler können? Oder ist das Stoff für ein höheres Semester?

10.10.2019, 20:54

Mathema

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Ach, du bist im 1. Semester? Nein, das ist dann eher was für höhere Semester. Bist du denn sicher, dass du wirklich den Grenzwert dieser Reihe bestimmen sollst?

10.10.2019, 21:04

mona489

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RE: Grenzwert einer Reihe bestimmen
Danke erst einmal für deine Antworten! Okay, das ist gut, ich hatte schon einen Schock, als ich das gesehen habe ... Ich wollte den Grenzwert als Übungsaufgabe für mich selbst bestimmen. Und ich dachte, dass wenn ich die Lösung kenne, ich vielleicht auch darauf komme, wie mit dieser Reihe zu verfahren ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Was mich bei der Grenzwertbestimmung dieser Reihe stört, ist das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Ich weiß nicht, wie ich den Term derart umgeformt bekomme, dass die Anwendung der Teleskopsumme möglich wird. Könntest du mir hierbei vielleicht helfen?

10.10.2019, 21:14

Mathema

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Ach so, selbst ausgedacht also. Big Laugh

Big Laugh

Das bekommen wir wohl hin. Es gilt übrigens $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k\geq 1} \frac{1}{k(k+1)\cdot...\cdot (k+N)}=\frac{1}{N\cdot N!} \end{eqnarray*}$ , aber das darfst du wohl noch nicht benutzen.

Hast du denn schon eine PBZ gemacht?

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10.10.2019, 21:25

mona489

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RE: Grenzwert einer Reihe bestimmen
Also das ist keine Übungsaufgabe der Vorlesung, sondern eine aus Otto Forsters "Übungsbuch zur Analysis 1"; vielleicht ist deine Lösung das, worauf er hinauswill Big Laugh

Big Laugh

In der Einleitung des Buches schreibt Forster, dass er nicht zu jeder Aufgabe eine Lösung angeben wolle, da das dazu verleite, zu schnell in die Lösung zu gucken, und so vom angestrengten langen Nachdenken abhalte.

Das mag stimmen, aber Forster muss auch verstehen, dass man mit dem Stoff nicht hinterherkommt, wenn man über jede Aufgabe 5h nachgrübelt Big Laugh

Big Laugh

Ich hoffe, die Aufgaben in der Klausur sind nicht so schwer wie die in diesem Buch; finde, dass die teilweise sogar schwieriger als die Übungsaufgaben sind, die wir bekommen

10.10.2019, 21:35

Mathema

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Nein, darauf will Herr Forster bestimmt nicht hinaus, da der Beweis dazu auch nicht in die Analysis 1 gehört.

Aber wenn dieses keine Übungsaufgabe aus der Vorlesung ist, können wir diese ja ganz in Ruhe ohne Zeitdruck durchgehen. Ist doch wunderbar.

Also nochmal: Der erste Schritt ist eine Partialbruchzerlegung. Weißt du wie das geht?

10.10.2019, 21:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathema
Es gilt übrigens $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k\geq 1} \frac{1}{k(k+1)\cdot...\cdot (k+N)}=\frac{1}{N\cdot N!} \end{eqnarray*}$ ,

Dafür muss man sich ja gar nicht durch eine komplette PBZ quälen, es reicht der ziemlich naheliegende Teleskop-Ansatz

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_k - a_{k+1}\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{C}{k(k+1)\cdot\ldots\cdot(k+N-1)} \end{eqnarray*}$

mit der noch zu bestimmenden reellen Konstanten $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.10.2019, 22:20

mona489

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RE: Grenzwert einer Reihe bestimmen
Ach, das Verfahren hat einen Namen! Es ist die Partialbruchzerlegung, die mir hier einfach nicht gelingen will ... bin mit damit auch nicht so wirklich vertraut ... im Skript steht nirgends etwas davon, ich glaube, das wird einfach vorausgesetzt

Auf jeden Fall finde ich es toll, dass du mir helfen willst - danke! smile

smile

10.10.2019, 22:24

mona489

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RE: Grenzwert einer Reihe bestimmen
@Hal 9000: Danke, aber es ist genau dieses $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , auf das ich nicht komme unglücklich

unglücklich

10.10.2019, 22:30

HAL 9000

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Wo ist das Problem? Schreib doch einfach basierend auf diesem Ansatz die Differenz $\begin{eqnarray*} a_k-a_{k+1} \end{eqnarray*}$ auf einen gemeinsamen Bruchstrich.

10.10.2019, 22:54

Mathema

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Wir haben hier übrigens auch ein Workshop zum Thema PBZ:

[WS] Partialbruchzerlegung

Falls du dich zur Übung also doch noch mal durch eine vollständige PBZ quälen willst, wäre dieses ja eine gute Gelegenheit. Bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$ ist der Nenner ja auch schon in Linearfaktoren zerlegt. Der Ansatz wäre somit also einfach:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}+\frac{c}{k+2}=\frac{a(k+1)(k+2)+bk(k+2)+ck(k+1)}{k(k+1)(k+2)}=\frac{ak^2+3ak+2a+bk^2+2bk+ck^2+ck}{k(k+1)(k+2)}=\frac{k^2(a+b+c)+k(3a+2b+c)+2a}{k(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Durch Koeffiizientenvergleich erhalten wir also das GLS:

$\begin{eqnarray*} (1)\quad a+b+c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)\quad 3a+2b+c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3)\quad 2a=1 \end{eqnarray*}$

Gute Nacht!

10.10.2019, 23:06

mona489

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RE: Grenzwert einer Reihe bestimmen
Sorry, aber ich verstehe nicht ganz, was du meinst ...

Die Differenz $\begin{eqnarray*} a_{k} - a_{k+1} \end{eqnarray*}$ ist ja nicht gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k(+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$ - aber darum geht es uns doch ...

Wahrscheinlich missverstehe ich dich; kannst du mir den ersten Schritt zeigen?

10.10.2019, 23:24

mona489

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RE: Grenzwert einer Reihe bestimmen
Ahhh, danke für das mit der Partialbruchzerlegung! Nur eine Frage: Woher weißt du, dass 2a = 1, und nicht etwa einer der anderen Terme = 1 ist ? Man könnte ja auch den obersten = 1 setzen und die anderen beiden = 0.

10.10.2019, 23:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von mona489
Die Differenz $\begin{eqnarray*} a_{k} - a_{k+1} \end{eqnarray*}$ ist ja nicht gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k(+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Doch, genau das ist sie!!! Besser gesagt wollen wir ja $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ so wählen, dass es eben hinhaut:

$\begin{eqnarray*} a_k - a_{k+1} = \frac{C}{k(k+1)} - \frac{C}{(k+1)(k+2)} = C\frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)} = \frac{2C}{k(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Wir wählen also $\begin{eqnarray*} C=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und haben dann die gewünschte Teleskopdarstellung.

11.10.2019, 12:02

Mathema

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RE: Grenzwert einer Reihe bestimmen

Zitat:

Original von mona489
Nur eine Frage: Woher weißt du, dass 2a = 1, und nicht etwa einer der anderen Terme = 1 ist ? Man könnte ja auch den obersten = 1 setzen und die anderen beiden = 0.

Schau dir doch noch mal den ersten und letzten Bruch an:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{k^2(a+b+c)+k(3a+2b+c)+2a}{k(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Oder auch:

$\begin{eqnarray*} \frac{\textcolor{red}{0}\cdot k^2+\textcolor{blue}{0}\cdot k \textcolor{green}{+ 1}}{k(k+1)(k+2)}=\frac{\textcolor{red}{(a+b+c)} \cdot k^2+\textcolor{blue}{(3a+2b+c)}\cdot k\textcolor{green}{+2a}}{k(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Der Weg von HAL ist natürlich etwas eleganter, aber als gute Übung kannst du je beide einmal zum Ende führen.

11.10.2019, 22:55

mona489

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RE: Grenzwert einer Reihe bestimmen
Ach soooo! Vielen, vielen Dank, Mathema und HAL 9000 ! Mithilfe der Partialbruchzerlegung bin ich letztendlich zu dem Ergebnis gelangt, dass der Grenzwert der Reihe gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist

Nur mal so aus Interesse: Ist die Partialbruchzerlegung Uni- oder Schulstoff? Polynomdivison ist ja auch Schulstoff, obwohl wir das nur einmal kurz behandelt, und dann nie wieder benutzt haben. Vielleicht hatten wir die Partialbruchzerlegung mal, aber nur so flüchtig, dass ich es wieder vergessen hab ... eben so wie die Polynomdivision

11.10.2019, 23:02

Mathema

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In Schleswig-Holstein gehörte es lange zum Schulstoff dazu. Mit Abschaffung der Leistungskurse ist aber auch die PBZ aus dem Lehrplan verschwunden.

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