Differentialgleichung

11.10.2019, 14:27

SM!LE

Differentialgleichung

Guten Tag,

ich sitze schon eine Weile über einer Aufgabe aber ich komme nicht auf einen Ansatz.
Ich würde mich freuen wenn Ihr mir einen Tipp geben könntet, damit ich die Aufgabe lösen kann.

Aufgabe:

Gegeben ist für die auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty)~\times~\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definierte Funktion $\begin{eqnarray*} u(t,x) \end{eqnarray*}$ folgende Differentialgleichung:

$\begin{eqnarray*} u_t+c\cdot u_x=0 \end{eqnarray*}$ .

Anfangsbedinung: $\begin{eqnarray*} u(0,x)=u_0(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante und $\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ eine gegebene stetig differenzierbare Funktion.

Überprüft werden soll, dass durch

$\begin{eqnarray*} u(t,x):=u_0(x-c\cdot t) \end{eqnarray*}$

eine Lösung des Anfangswertproblems gegeben ist.

Vielen Dank für Eure Mühen ich bin für jeden hilfreichen Tipp dankbar.

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE

11.10.2019, 14:32

HAL 9000

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Tja, dieses $\begin{eqnarray*} u(t,x) \end{eqnarray*}$ in die Terme $\begin{eqnarray*} u_t+cu_x \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} u(0,x) \end{eqnarray*}$ einsetzen und schauen, ob das gewünschte herauskommt. Sollte nicht so umwerfend schwierig sein - beim ersten Term ist lediglich noch die Kettenregel zu beachten.

11.10.2019, 14:57

SM!LE

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Vielen Dank.

Wäre das so richtig ?

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+c\cdot\frac{\partial u(t,x)}{\partial x}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -c\cdot u_0'+c\cdot u_0'=0 \Leftrightarrow 0=0 \end{eqnarray*}$

Und für die Anfangsbedinung:

$\begin{eqnarray*} u(0,x)=u_0(x-c\cdot 0)=u_0(x) \end{eqnarray*}$

11.10.2019, 14:59

HAL 9000

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Ja, so sollte das reichen. Freude

11.10.2019, 15:08

SM!LE

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Okay vielen vielen Dank smile

.

Vielleicht können Sie mir ja bei meinem Problem helfen was ich damit hatte.
Kann ich davon ausgehen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u_0}{\partial t}=\frac{\partial u_0}{\partial x} \end{eqnarray*}$ ist?
Und wenn ja wieso?

Weil ich leite ja meine gegebene stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ einmal nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und einmal nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab oder?

Wo liegt da mein Denkfehler?

11.10.2019, 17:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von SM!LE
Kann ich davon ausgehen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u_0}{\partial t}=\frac{\partial u_0}{\partial x} \end{eqnarray*}$ ist?

Nein. $\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ ist einfach eine Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , in dem Zusammenhang machen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ überhaupt keinen Sinn. Erst bei Benennung eines Arguments für dieses $\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ kann man etwas Sinnvolles sagen, z.B.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u_0(x)}{\partial t} = 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u_0(x)}{\partial x} = u_0'(x) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u_0(t)}{\partial t} = u_0'(t) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u_0(t)}{\partial x} = 0 \end{eqnarray*}$ .

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