Komplexe Gleichung (Kreisteilungsgleichung)

11.10.2019, 21:36

mmathee

Komplexe Gleichung (Kreisteilungsgleichung)

Meine Frage:
Ich habe die Gleichung z = dritte Wurzel aus (-i).

Meine Ideen:
Wie gehe ich mit diesem Beispiel um? Ich weiß leider echt nicht wie ich ansetzen soll..

Bin wirklich für jede Hilfe und Erklärung dankbar!

11.10.2019, 21:43

Elvis

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Man multipliziert komplexe Zahlen indem man Beträge multipliziert und Argumente (Winkel) addiert. Der Betrag von -i ist gleich 1, also muss man nur die 270 Grad durch 3 teilen. Beachte dass jedes komplexe Polynom vom Grad n genau n komplexe Nullstellen hat.

11.10.2019, 21:57

Mathema

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Siehe dazu auch:

[WS] Komplexe Zahlen

11.10.2019, 22:32

mmathee

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!

und auch für den Verweis, werd ich mir auf alle Fälle anschauen!! Freude

11.10.2019, 22:41

highway

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Wenn du es etwas a la "Schulmethode" möchtest, dann setze so an :

$\begin{eqnarray*} z^3+i=0 \end{eqnarray*}$

Eine Nullstelle lässt sich leicht "erraten" und eine entsprechende Faktorisierung liefert eine Polynomdivision.

11.10.2019, 23:32

mYthos

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Die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^3 = -i \end{eqnarray*}$ ist eine sogenannte Kreisteilungsgleichung.
Das bedeutet, die Spitzen der komplexen Zeiger aller Lösungen liegen auf einem Kreis, dessen Radius die dritte Wurzel aus dem Betrag der rechten Seite ist (hier also 1).

Günstig erweist sich zudem die Schreibweise in Exponentialform. Somit lautet die Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^3 = 1 \cdot e^{i \cdot \frac{3\pi}2} \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich die 1. Lösung wie bereits von Elvis beschrieben.
Die weiteren Lösungen werden - bei gleichbleibendem Radius (Betrag) - durch fortgesetzte Addition des Winkels $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi} 3 \end{eqnarray*}$ (120°) erreicht.

Es gibt auch einen Lösungsweg mittels der Schreibweise in der trigonometrischen Zahlpaarform ...

mY+

13.10.2019, 14:35

MatheAnfang

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Woher weiß ich aber was mein x ist? Also der Realteil?

Ich weiß, was mein y ist, der ist -1. Aber ich weiß nicht, was das x ist.

Kann ich da einfach annehmen, dass x =1 ist? Falls ja, warum kann ich das machen und falls nicht, dann bitte ich um Erklärungen, ich steh grad voll auf der Leitung..:/

Vielen Dank!

13.10.2019, 14:39

Elvis

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$\begin{eqnarray*} -i=0\cdot 1+(-1)\cdot i=x+y\cdot i \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x=0,y=-1 \end{eqnarray*}$

13.10.2019, 15:02

MatheAnfang

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} -i=0\cdot 1+(-1)\cdot i=x+y\cdot i \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x=0,y=-1 \end{eqnarray*}$

Genau, so hatte ich es mir auch gedacht, aber dann verstehe ich nicht weiter wie ich auf den Winkeln Phi komme.

Die Formel lautet:
Phi = arctan y/x

wie kann ich dann durch Null dividieren? traurig

13.10.2019, 15:37

MatheAnfang

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Zitat:

Original von MatheAnfang

Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} -i=0\cdot 1+(-1)\cdot i=x+y\cdot i \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x=0,y=-1 \end{eqnarray*}$

Genau, so hatte ich es mir auch gedacht, aber dann verstehe ich nicht weiter wie ich auf den Winkeln Phi komme.

Die Formel lautet:
Phi = arctan y/x

wie kann ich dann durch Null dividieren? traurig

Schwachsinn, ich kann es mir aus dem Koordinatensystem rauslesen.. Sorry Freude

13.10.2019, 19:13

Elvis

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Zitat:

Original von MatheAnfang
Schwachsinn ...

So hätte ich das nicht formuliert, aber es ist so einfach.

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