Diskretisierung DGL 2.Ordnung mit zentralen Differenzen und implizitem Euler

12.10.2019, 17:27	Agent 47	Auf diesen Beitrag antworten »
Diskretisierung DGL 2.Ordnung mit zentralen Differenzen und implizitem Euler Hallo! Ich habe eine Frage zu der Diskretisierung einer DGL 2.Ordnung. Die DGL lautet $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}p }{d^{2}t }-c^{2} \frac{d^{2}p }{d^{2}x }=0 \end{eqnarray}$ und kann umgeschrieben werden zu einem DGL-System 1.Ordnung $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} p \\ u \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \frac{d^{2} }{dx^{2} } & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ u\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun soll man obiges DGL-System diskretisieren und zwar die zweite Ableitung nach x mit zentralen Differenzen und die erste Ableitung nach der Zeit mit einem impliziten Euler-Verfahren. Als Hinweis ist noch gegeben, dass die Lösung in der Form $\begin{eqnarray} X^{n+1} =AX \end{eqnarray}$ sein soll, wobei A eine 2Nx2N Matrix ist. Also erhalte ich $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}p }{dx^{2} } =\frac{p_{n+1}-2p_{n}+p_{n-1} }{\Delta x^{2} } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_{n+1} =p_{n} +\Delta t u_{k+1} \end{eqnarray}$ und den Zusammenhang $\begin{eqnarray} \frac{du}{dt}=\frac{d^{2}p }{dx^{2} } \end{eqnarray*}$ gibt es auch noch. Hier komme ich nun nicht wirklich weiter, da einerseits mein p_n+1 von u_n+1 abhängt und umgekehrt und ich nicht weiß wie ich das p_n-1 aus der Diskretisierung mit den zentralen Differenzen loswerden soll um auf die gewünschte Matrix-Vektor-Form zu kommen. Habe ich die Diskretisierung schon falsch durchgeführt, oder wie komme ich von meinen Gleichungen dann auf die gewünschte Form mit der Matrix A? Hoffe mein Problem ist verständlich formuliert und es kann mir jemand weiterhelfen!
01.12.2019, 12:37	Agent 47	Auf diesen Beitrag antworten »
Einmal versuche ich es noch. Kann mir niemand weiterhelfen bei meinem Problem?

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