Verteilung von runs

14.10.2019, 05:56

Dopap

Verteilung von runs

Wenn man aus einer dichotomen Grundmenge zufällig w>0 weiße Kugeln und s>0 schwarze Kugeln
und damit ein Tupel der Länge $\begin{eqnarray*} n=w+s \end{eqnarray*}$ zieht,
sind einige runs dabei, wobei 1 run = eine Folge gleichartiger Kugeln ist.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} ( www, s, www, ss, w, ssss ) \end{eqnarray*}$ hat r=6 runs

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße R= Anzahl der runs einen gewissen Wert $\begin{eqnarray*} P(r,w,s) \end{eqnarray*}$ annimmt ist bei

r gerade und k=1/2r $\begin{eqnarray*} \qquad P(R=2k=r)={\frac {2{{w-1} \choose {k-1}}{{s-1} \choose {k-1}}}{{n} \choose w}} \end{eqnarray*}$
r ungerade und k=1/2(r+1)-1 $\begin{eqnarray*} \quad P(R=2k+1=r)={\frac {{w-1 \choose k}{s-1 \choose{\color{red} k-1}}+{w-1 \choose k-1}{s-1\choose k}}{n \choose w}} \end{eqnarray*}$

Wenn die Annahme einer zufälligen Entnahme bestehen soll, dann sollte es nicht zu wenige runs
aber auch nicht zu viele davon geben.
Um die Quantile für $\begin{eqnarray*} \alpha/2 \,\,\text{und}\,\, (1-\alpha/2) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, muss die Verteilungsfunktion(?) von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ausgewertet werden.

$\begin{eqnarray*} F_R\stackrel{?}{=}\sum_{i={\color{red}2}}^{n+1}P(i,w,s) \end{eqnarray*}$ was aber unklar ist. Zudem teminiert im konkreten Fall dieses $\begin{eqnarray*} F_R \end{eqnarray*}$ bei ca 0.8

2 berechnete Beispiele :
$\begin{eqnarray*} P(6,5,6)=0.13420\qquad P(7,5,6)=0.21645 \end{eqnarray*}$

Irgendwo müsste ein logischer oder ein Programm-Fehler stecken. verwirrt

15.10.2019, 09:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} F_R\stackrel{?}{=}\sum_{i={\color{red}2}}^{n+1}P(i,w,s) \end{eqnarray*}$ was aber unklar ist.

Bei dem $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ als oberen Summenindex meinst du aber nicht wie oben $\begin{eqnarray*} n=w+s \end{eqnarray*}$ , oder? Denn es kann ja gar nicht mehr als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ runs geben (und genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ja auch nur bei $\begin{eqnarray*} |w-s|\leq 1 \end{eqnarray*}$ ), insofern ist bei deiner Schreibweise im Fall $\begin{eqnarray*} w\geq 1, s\geq 1 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} \sum_{i=2}^n P(i,w,s) = 1 \end{eqnarray*}$

Ich nehme daher an, du redest von $\begin{eqnarray*} F_R(m) = \sum_{i=2}^m P(i,w,s) \end{eqnarray*}$ , sinnvoll in dieser Darstellung von $\begin{eqnarray*} m=2,\ldots,n \end{eqnarray*}$ , oder genauer noch $\begin{eqnarray*} m=2,\ldots,\min\{n,2w+1,2s+1\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Dopap
Zudem teminiert im konkreten Fall dieses $\begin{eqnarray*} F_R \end{eqnarray*}$ bei ca 0.8

Soll das heißen, du bekommst $\begin{eqnarray*} F_R(w+s) < 1 \end{eqnarray*}$ für irgendeine Konstellation $\begin{eqnarray*} w,s \end{eqnarray*}$ ? Das kann sich dann tatsächlich nur um einen Rechenfehler handeln. An den Formeln oben liegt es jedenfalls nicht, denn die sind in Ordnung.

15.10.2019, 10:10

Dopap

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} F_R\stackrel{?}{=}\sum_{i={\color{red}2}}^{n+1}P(i,w,s) \end{eqnarray*}$ was aber unklar ist.

Zitat:

Original von HAL 9000
Bei dem $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ als oberen Summenindex meinst du aber nicht wie oben $\begin{eqnarray*} n=w+s \end{eqnarray*}$ , oder?

doch

leider verzählt, aber mit deinem

$\begin{eqnarray*} m=2,\ldots,\min\{n,2w+1,2s+1\}\quad \end{eqnarray*}$ sind jegliche Unklarheiten beseitigt.

große Stichproben waren und sind nicht das Problem, da wegen

$\begin{eqnarray*} \operatorname{E} (R)=\frac {2ws}{n} +1 \qquad \operatorname {Var}(R)=\frac{2ws(2ws-n)}{n^2(n-1)} \end{eqnarray*}$

die Normalverteilung als Näherung zur Verfügung steht.

15.10.2019, 10:46

HAL 9000

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Das beantwortet jetzt nicht meine Nachfrage

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Dopap
Zudem teminiert im konkreten Fall dieses $\begin{eqnarray*} F_R \end{eqnarray*}$ bei ca 0.8

Soll das heißen, du bekommst $\begin{eqnarray*} F_R(w+s) < 1 \end{eqnarray*}$ für irgendeine Konstellation $\begin{eqnarray*} w,s \end{eqnarray*}$ ?

P.S.: Der Nachweis der Formeln

$\begin{eqnarray*} P(R=2k) = \frac{2\binom{w-1}{k-1}\binom{s-1}{k-1}}{\binom{n}{w}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(R=2k+1) = \frac{\binom{w-1}{k}\binom{s-1}{k-1}+\binom{w-1}{k-1}\binom{s-1}{k}}{\binom{n}{w}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(R) = \frac{2ws}{n}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V(R) = \frac{2ws(2ws-n)}{n^2(n-1)} \end{eqnarray*}$

ist übrigens eine nette Übungsaufgabe. smile

15.10.2019, 11:12

Dopap

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Zitat:

Original von HAL 9000
Soll das heißen, du bekommst $\begin{eqnarray*} F_R(w+s) < 1 \end{eqnarray*}$ für irgendeine Konstellation $\begin{eqnarray*} w,s \end{eqnarray*}$ ?

leiderJa

15.10.2019, 12:00

HAL 9000

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Hmm, so triviale Sachen wie Bereichsüberlauf (bei den gängigen Integertypen schnell erreicht, aber auch die Floating-Point-Formate "halten" nicht ewig) hast du aber ausgeschlossen?

15.10.2019, 13:24

Dopap

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floating point geht bis 10^(+- 500) und over/under) flow - flag ist true.

COMB(n,k) rechnet nicht mit Fakultäten.

Aber nach umständlichen debuggen ist einer jener Fieslinge gefunden:
Irgendwo ein + statt einem * aber so, dass es erst einmal nicht auffällt unglücklich

immerhin ist jetzt erst bei über 0.99 Schluß.
Probleme macht noch der definitiv Letzte= P11,5,6) aber der ist eben der Rest Augenzwinkern

Nein, geht gegen die Ehre! da schau ich dann noch danach.

Und nicht so wie ich schon sehen musste :

IF i==R THEN return (1-sum) END Augenzwinkern

edit: i==n nicht R

16.10.2019, 00:02

Dopap

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wenn $\begin{eqnarray*} w,s\geq 1 \end{eqnarray*}$ dann läuft eine Summe von 2 bis maximal $\begin{eqnarray*} n=w+s \end{eqnarray*}$
richtig?

Das Problem ist jetzt die ungerade Auswertung bei z.B. $\begin{eqnarray*} P(9,4,5) \end{eqnarray*}$
das k ist dann $\begin{eqnarray*} k=1/2(9+1)-1=4 \end{eqnarray*}$

gleich zu Beginn liefert das Rote einen COMB error da $\begin{eqnarray*} 3<4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(R=2k+1) = \frac{\binom{\color{red}w-1}{\color{red}k}\color{black}\binom{s-1}{k-1}+\binom{w-1}{k-1}\binom{s-1}{k}}{\binom{n}{w}} \end{eqnarray*}$

Ein w-s Vertauschen bringt nix dann kommt der error eben vom letzten COMB in Zähler.

16.10.2019, 06:59

HAL 9000

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Dann ist das eine lausige Implementierung von COMB. Es ist ja

$\begin{eqnarray*} \binom{x}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{j=0}^{k-1} (x-j) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N}_0,\,x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ,

damit folgt $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} = 0 \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n,k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n<k \end{eqnarray*}$ .

16.10.2019, 07:44

Dopap

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genau ! und deshalb hatte ich mal mein persönliches COMB2 geschrieben,
das u.a. noch größere n,k zulässt aber natürlich langsam ist. ( Interpreter !)

Ende gut alles gut, mit COMB2 jetzt ist $\begin{eqnarray*} P(9,4,5)=7.93650793651\cdot 10^{-3} \end{eqnarray*}$ smile

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