Charakterisiere omega, und berechne omega(phi)

14.10.2019, 17:07	pufkica	Auf diesen Beitrag antworten »
Charakterisiere omega, und berechne omega(phi) Edit (mY+): Überschrift korrigiert! Es heißt omega(phi) anstatt fi(omega)!! Meine Frage: Charakterisiere omega , und berechne fi(omega) für $\begin{eqnarray} omega = - dx2 \wedge dx1 \wedge dx3 + dx1 \wedge dx2 \wedge dx2<br /> <br /> [latex] fi : [0, 2\pi]^2 \end{eqnarray}$ × $\begin{eqnarray} [0, 4] \mathbb => R ^3 \end{eqnarray}$ fi (u1, u2, u3) = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} (3 + u3sinu1)cosu2 \\ (3 + u3 sinu1)sinu2 \\ u3cosu1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Komme nicht voran.
14.10.2019, 19:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du deine Angaben korrigieren? 1. $\begin{align} \omega \end{align}$ scheint mir nicht zu stimmen. Der zweite Summand würde ja wegen $\begin{align} \dd x_2 \wedge \dd x_2 = 0 \end{align}$ verschwinden. Und stimmt der erste Summand? 2. Was soll $\begin{align} \varphi(\omega) \end{align}$ sein, das da angeblich bestimmt werden soll? Müßte das nicht $\begin{align} \varphi^(\omega) \end{align}$ heißen? 3. Und stimmt $\begin{align} \varphi \end{align}$ so: $\begin{align} \varphi \left( u_1 , u_2 , u_3 \right) = \begin{pmatrix} \left( 3 + u_3 \sin u_1 \right) \cos u_2 \\ \left( 3 + u_3 \sin u_1 \right) \sin u_2 \\ u_3 \cos u_1 \end{pmatrix} \end{align*}$
15.10.2019, 18:55	pufkica	Auf diesen Beitrag antworten »
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15.10.2019, 20:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann würde ich bei (c) so rechnen: $\begin{align} \omega = - \underbrace{\dd x_2 \wedge \dd x_1}_{\text{kommutieren}} \wedge \dd x_3 + \dd x_1 \wedge \underbrace{\dd x_2 \wedge \dd x_2}_0 = \dd x_1 \wedge \dd x_2 \wedge \dd x_3 \end{align}$ Und jetzt $\begin{align} \omega(\varphi) \end{align}$ , was ich als $\begin{align} \varphi^(\omega) \end{align}$ kenne, das Zurückholen von Differentialformen. Dazu setzt man einfach für $\begin{align} x_1,x_2,x_3 \end{align}$ die Koordinaten von $\begin{align} \varphi(u_1,u_2,u_3) \end{align}$ ein: $\begin{align} \varphi^(\omega) = \dd \left( \left[ 3 + u_3 \sin u_1 \right] \cos u_2 \right) \wedge \dd \left( \left[ 3 + u_3 \sin u_1 \right] \sin u_2 \right) \wedge \dd \left( u_3 \cos u_1 \right) \end{align}$ $\begin{align} = \left( u_3 \cos u_1 \cos u_2 ~ \dd u_1 - \left[ 3 + u_3 \sin u_1 \right] \sin u_2 ~ \dd u_2 + \sin u_1 \cos u_2 ~ \dd u_3 \right) \end{align}$ $\begin{align} \wedge \left( u_3 \cos u_1 \sin u_2 ~ \dd u_1 + \left[ 3 + u_3 \sin u_1 \right] \cos u_2 ~ \dd u_2 + \sin u_1 \sin u_2 ~ \dd u_3 \right) \end{align}$ $\begin{align} \wedge \left( - u_3 \sin u_1 ~ \dd u_1 + \cos u_1 ~ \dd u_3 \right) \end{align}$ Jetzt distributiv ausmultiplizieren. Äußere Produkte, in denen ein Differential zweimal vorkommt, verschwinden. Durch Vertauschen benachbarter Differentiale in Dachprodukten, was eine Vorzeichenänderung zur Folge hat, kann man alle äußeren Produkte auf die Form $\begin{align} \dd u_1 \wedge \dd u_2 \wedge \dd u_3 \end{align}$ bringen. Wenn man die Koeffizientenfunktionen davor ausklammert, erhält man die Gestalt $\begin{align} g(u_1,u_2,u_3) ~ \dd u_1 \wedge \dd u_2 \wedge \dd u_3 \end{align}$ .

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