Konvergenz/Divergenz einer Reihe beweisen

15.10.2019, 15:41

Lena005

Konvergenz/Divergenz einer Reihe beweisen

Meine Frage:
Man soll die folgende Reihe auf Konvergenz/Divergenz untersuchen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^{n}n!}{n^{n}} \end{eqnarray*}$

Ich habe das Quotientenkriterium angewandt und erhielt so

$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = 2(\frac{n}{n+1})^{n} = s_{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Folge $\begin{eqnarray*} s_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0 und folglich konvergiert die Reihe.

Meine Frage: Wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray*} s_{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert?

Vielleicht mithilfe des Quetschlemmas?

Möglicherweise kennt ihr auch eine bessere Methode, um die Konvergenz der Reihe zu beweisen ...

Danke im Voraus!

15.10.2019, 15:47

klarsoweit

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RE: Konvergenz/Divergenz einer Reihe beweisen

Zitat:

Original von Lena005
Meine Frage: Wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray*} s_{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert?

Nette Frage, an der du dir die Zähne ausbeißen wirst, denn die Folge konvergiert nicht gegen Null. smile

Vielleicht ist dir die Folge irgendwo schon mal begegnet. Im Zweifelsfall schreib doch mal ein paar Werte von $\begin{eqnarray*} (\frac{n+1}{n})^n \end{eqnarray*}$ auf. Augenzwinkern

15.10.2019, 15:52

Mathema

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Steht denn die Reihe wirklich so in der Aufgabe? Das $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ macht mich doch etwas stutzig.

15.10.2019, 15:54

Lena005

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RE: Konvergenz/Divergenz einer Reihe beweisen
Stimmt, danke; die konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ . Somit ist die Reihe dann also divergent?

15.10.2019, 15:57

Lena005

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RE: Konvergenz/Divergenz einer Reihe beweisen
Streicht meinen letzten Beitrag! Der war töricht! Keine Ahnung, welchen Grenzwert die Folge besitzt unglücklich

@Mathema: Ja, es ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$ verwirrt

15.10.2019, 16:00

Lena005

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RE: Konvergenz/Divergenz einer Reihe beweisen
Habe in der Frage "k" statt "n" geschrieben, sorry. Es ist also $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$

15.10.2019, 16:08

Lena005

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RE: Konvergenz/Divergenz einer Reihe beweisen

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Lena005
Meine Frage: Wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray*} s_{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert?

Nette Frage, an der du dir die Zähne ausbeißen wirst, denn die Folge konvergiert nicht gegen Null. smile

Vielleicht ist dir die Folge irgendwo schon mal begegnet. Im Zweifelsfall schreib doch mal ein paar Werte von $\begin{eqnarray*} (\frac{n+1}{n})^n \end{eqnarray*}$ auf. Augenzwinkern

Du redest hier von $\begin{eqnarray*} (\frac{n+1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$ , es geht aber um

$\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^{n} \end{eqnarray*}$

Gilt deine Aussage trotzdem, oder hast du dich nur vertippt?

15.10.2019, 16:46

Mathema

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RE: Konvergenz/Divergenz einer Reihe beweisen

Zitat:

Original von Lena005
Habe in der Frage "k" statt "n" geschrieben, sorry. Es ist also $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$

Macht schon mehr Sinn. Obwohl der Nenner im ersten Summanden dann $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ lautet, was eigentlich undefiniert ist.

Kannst du denn nun den Grenzwert von klarsoweit hinschreiben, also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

oder auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

?

15.10.2019, 16:58

Lena005

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RE: Konvergenz/Divergenz einer Reihe beweisen
Ja, aber ich verstehe nicht ganz, wie ihr beiden plötzlich auf $\begin{eqnarray*} ( \frac{n+1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$ kommt ...

Es ist ja:

$\begin{eqnarray*} s_{n} = 2 ( \frac{n}{n+1})^{n} \end{eqnarray*}$ ,

und nicht

$\begin{eqnarray*} s_{n} = 2 ( \frac{n+1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$

Oder stimmen meine Umformungen nicht, und ihr habt sie unter der Hand schon korrigiert?

Auf jeden Fall: Danke, dass ihr euch meiner angenommen habt Freude

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

15.10.2019, 17:00

Lena005

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RE: Konvergenz/Divergenz einer Reihe beweisen
Danke, dass ihr mir helft, will ich sagen

15.10.2019, 17:17

Mathema

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Naja, wenn du den einen Grenzwert kennst, solltest du dir damit den anderen leicht herleiten können. Voraussetzung ist dafür aber, dass du den Grenzwert eben kennst.

15.10.2019, 17:33

Lena005

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Ahh, jetzt beginne ich zu verstehen, danke!

Es ist

$\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^{n} = \frac{1}{(\frac{n+1}{n})^{n}} \end{eqnarray*}$

und da der Term, der im Nenner steht, gegen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ strebt, strebt unsere Folge gegen $\begin{eqnarray*} \frac{2}{e} <br /> < 1 \end{eqnarray*}$ . Wir beschließen somit mit dem Quotientenkriterium, dass unsere Reihe konvergiert.

15.10.2019, 18:22

Lena005

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Richtig so?

15.10.2019, 19:23

Mathema

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Ja, das sollte so passen.

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