Folge konvergiert gegen e

15.10.2019, 14:56

DerJoker

Folge konvergiert gegen e

Hallo,

ich versuche mich an folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge mit $\begin{eqnarray*} 0 \neq a_{n} \in \mathbb R_{>-1} \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1+a_{n}\right)^{\frac{1}{a_{n}}} = e \end{eqnarray*}$ .

Nun es genügt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n}}\ln \left(1+a_{n}\right) = 1 \end{eqnarray*}$ zu zeigen.
Außerdem gilt: $\begin{eqnarray*} \ln(1+a_{n}) \leq 1+a_{n} \end{eqnarray*}$ . Weiter bin ich leider nicht gekommen. Über einen Ansatz würde ich mich freuen smile

16.10.2019, 07:07

klarsoweit

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RE: Folge konvergiert gegen e
Kann die Differentialrechnung verwendet werden?

Dann geht es mit f(x) := ln(x) um $\begin{eqnarray*} f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{ln(1+h) - ln(1)}{h} \end{eqnarray*}$ .

16.10.2019, 07:11

DerJoker

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Hi,

leider kann ich diese zu dem Zeitpunkt noch nicht als bekannt voraussetzen Big Laugh

. Ich bedanke mich trotzdem bei dir smile

16.10.2019, 08:39

Mathema

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Du kannst doch aber mit den bekannten Abschätzungen für den Logarithmus dir ein Sandwich machen, also nutze $\begin{eqnarray*} {\frac{x-1}{x}\le \log(x)\le x-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ .

16.10.2019, 14:53

DerJoker

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Hi,

diese Abschätzungen sind mir nicht bekannt.
Ich werde versuchen diese herzuleiten.
Die Abschätzung nach oben sehe ich spontan nur
für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich die nächsten Tage nicht weiter komme, melde ich mich wieder. Vielen Dank smile

16.10.2019, 15:26

Mathema

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Viel Erfolg! Tipp: Beide Abschätzungen folgen nach 2 Zeilen aus dieser Ungleichung:

https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullis...nentialfunktion

16.10.2019, 16:29

openwindow

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Zitat:

leider kann ich diese zu dem Zeitpunkt noch nicht als bekannt voraussetzen

Zitat:

diese Abschätzungen sind mir nicht bekannt.

Was ist denn überhaupt bekannt bzw. mit welchen Mitteln darfst du arbeiten ?

Ist denn vorher mal $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1+a_{n}\right)^{\frac{1}{a_{n}}} = e \end{eqnarray*}$ für die Nullfolge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit der Vorschrift $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ behandelt worden (das ist ja eine Definition für e) ?

Falls ja, dann könnte man ja als Verallgemeinerung auch direkt an $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{1}{a_{n}}}\right)^{\frac{1}{a_{n}}} \end{eqnarray*}$ denken.

17.10.2019, 09:14

DerJoker

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Hi,

@Mathema ok. Mir war bislang nur die $\begin{eqnarray*} e^x \geq x+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ bekannt. Dann sind mir die beiden Ungleichungen nun auch klar smile

.

@openwindow das ist ja auch genau die Aufgabe.

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