Induktionsbeweis

16.10.2019, 00:31

manuel459

Induktionsbeweis

Hallo,

ich möchte beweisen, dass für alle n =0,1,2,3,... $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} +\frac{1}{(n+1)+1} +...+\frac{1}{(2n-1)+1} +\frac{1}{(2n)+1} > \frac{13}{24} \end{eqnarray*}$ ist.

Mit "normaler" Induktion geht etwas schief, die Abschätzung, die ich als Induktionsvoraussetzung verwende, ist zu schwach. Jetzt habe ich davon gelesen, dass man die Induktionsannahme verstärken kann, indem man zum 13/24 noch etwas hinzugibt und dies dann per Induktion zeigt. Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich finde da nichts brauchbares...

Danke und LG

16.10.2019, 09:41

HAL 9000

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Wie man sich schnell überzeugen kann, ist $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n+1} + \ldots + \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ eine streng monoton fallende Folge. Kein Wunder, dass daher hier ein Induktionsschritt

$\begin{eqnarray*} a_n > C \;\stackrel{?}{\Longrightarrow}\; a_{n+1} > C \end{eqnarray*}$

nicht funktionieren kann.

Zitat:

Original von manuel459
Jetzt habe ich davon gelesen, dass man die Induktionsannahme verstärken kann, indem man zum 13/24 noch etwas hinzugibt und dies dann per Induktion zeigt.

Ja, z.B. den letzten Summanden von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , d.h. man weist $\begin{eqnarray*} a_n > \frac{13}{24} + \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ per Induktion nach, klappt allerdings erst für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ .

Umgeschrieben bedeutet das, man weist für $\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{n+1} + \ldots + \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} b_n > \frac{13}{24} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ nach. Anders als $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ nun aber eine streng monoton wachsende Folge, womit der Induktionsbeweis diesmal klappt.

Die Originalbehauptung folgt anschließend aus $\begin{eqnarray*} a_n > b_n > \frac{13}{24} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ . Für die noch fehlenden n=0 und n=1 prüft man die Behauptung $\begin{eqnarray*} a_n > \frac{13}{24} \end{eqnarray*}$ jeweils per Einzelfalluntersuchung.

EDIT: Eine andere Beweisvariante wäre übrigens

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac{1}{k} = \int\limits_{n+1}^{2n+2} \frac{\dd x}{\lfloor x\rfloor} > \int\limits_{n+1}^{2n+2} \frac{\dd x}{x} = \ln(2n+2) - \ln(n+1) = \ln(2)\approx 0.693 > \frac{13}{24} \end{eqnarray*}$ .

16.10.2019, 14:18

manuel459

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Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort! Damit konnte ich das vorgehen gut verstehen und gleich auf andere Aufgaben anwenden! smile

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