Schnitt aller schiefen und aller symmetrischen Matrizen.

16.10.2019, 16:21

mayett123

Schnitt aller schiefen und aller symmetrischen Matrizen.

Meine Frage:
hallo leute, ich habe eine frage, undzwar zum thema Symetrische Matrix und Schiefe Matrix.
ich stelle die frage hier nochmal, da ich sie ausversehen im schulmathematik forum gestellt habe

Meine Ideen:
habe ich recht das die Scheife Matrix insgesammt 3 Basen besitzt.
also
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist eine basis der schiefen Matrix.
durch den wegfall der unabhängigen basen in der mitte einer schiefen Matrix hat diese insgesammt 3 basen.
Die Symetrische Basis hat insgesammt 6 basen.
die Base
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
der Symetrischen basis ist nicht das gleiche wie die basis
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
der scheifen matrix.
aus diesem grund hat der Schnitt aller Vektorräume der Matritzen (Symetrisch und Schief) die Dimension 0, da auch keine gemeinsame Basis besteht.

16.10.2019, 16:24

mayett2

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sorry
natürlich meinte ich die form der matrizen so

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

und so

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.10.2019, 00:30

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RE: sorry
Der Vektorraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ der reellen symmetrischen $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ Matrizen und der VR $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der reellen schiefsymmetrischen $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ Matrizen haben in der Tat nur die Nullmatrix gemeinsam. Um das einzusehen braucht man aber keine Basen, die Bedingung $\begin{eqnarray*} A=A^T=-A \end{eqnarray*}$ reicht aus.
$\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ haben unendlich viele Basen.
Dein

Zitat:

habe ich recht das die Scheife Matrix insgesammt 3 Basen besitzt.

ist also falsch.
Im Fall der $\begin{eqnarray*} 3\times 3 \end{eqnarray*}$ Matrizen hat jede Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ genau sechs Elemente, jede Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ hat genau drei Elemente.
Die Anzahl der Basiselemente im allgemeiner Fall der $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ Matrizen kannst du dir bestimmt selbst zurecht legen.

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Schnitt aller schiefen und aller symmetrischen Matrizen.

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