Ein wenig Zahlentheorie

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
Ein wenig Zahlentheorie
Ich bin reiner Hobbymathematiker und glaube, Folgendes herausgefunden zu haben (ohne es jedoch beweisen zu können):

Jede rationale Zahl kann in mind. einem Stellenwertsystem mit Basis n = 1, 2, 3, ... als endliche Ziffernfolge dargestellt werden.

Keine irrationale Zahl kann in einem (beliebigen) Stellenwertsystem mit Basis n = 1, 2, 3, ... als endliche Ziffernfolge dargestellt werden.

Stimmt meine Vermutung? Und wieso stimmt sie?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Beides ist trivial:

a) Die rationale Zahl hat eine endliche Darstellung im Zahlensystem zur Basis , und zwar eine mit maximal einer Nachkommastelle. Augenzwinkern

b) Eine endliche Ziffernfolge im Zahlensystem zur Basis besitzt auch eine endliche Anzahl an Nachkommastellen. Damit entspricht diese Zahl mit irgendeiner ganzen Zahl , ist somit rational.
 
 
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein wenig Zahlentheorie
Weil's so schön ist, gleich noch zwei Verständnisfragen:

(1) Wenn man die reellen Zahlen nicht als vollständig postulieren würde, dann könnte man auch zwischen den reellen Zahlen noch Weitere Zahlenarten finden (zb hyperreelle) usw. usf., d.h. ohne ein Vollständigkeitspostulat in der einen oder anderen Form gäbe es gar nie ein Kontinuum, weil man ewig Lücken auf der Zahlengerade konstruieren könnte, richtig?

(2) Der kleiner/gleich-Operator wird angeblich definiert als: a kleiner/gleich b gdw. a < b oder a = b. Mein Problem: Unter dieser Definition bleibt es möglich, dass beides wahr ist, was aber unmöglich ist. Ist sie deshalb nicht latent widersprüchlich und müsste nicht definiert werden: a kleiner/gleich b gdw. entweder a < b oder a = b?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
Weil's so schön ist, gleich noch zwei Verständnisfragen

... zu einem gänzlich anderem Thema, wie es scheint, mit Zahlentheorie (Threadüberschrift) hat das nicht mehr viel zu tun. Wenn das jetzt wieder rüberdriftet in die von dir so heißgeliebten Logikdiskussionen, dann bin ich raus (gähnend langweilig für mich). Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Fragen sind so uralt, dass sie nicht mehr relevant sind.
(1) Die reellen Zahlen werden nicht postuliert sondern - wie auch immer - definiert. Demnach ist die Vollständigkeit ein Axiom oder ein Satz. In jedem Fall sind die reellen Zahlen vollständig.
(2) Vor hundert Jahren gab es noch Autoren (auch van der Waerden "Moderne Algebra" gehörte dazu), die Ordnungsrelationen durch definiert haben. Dein Problem ist gelöst, wenn man die bessere Definition mit benutzt. Dann entfallen alle unnötigen Fallunterscheidungen.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein wenig Zahlentheorie
Zitat:
Original von Pippen
(1) Wenn man die reellen Zahlen nicht als vollständig postulieren würde, dann könnte man auch zwischen den reellen Zahlen noch Weitere Zahlenarten finden (zb hyperreelle)

Die reellen Zahlen sind in den hyperreellen Zahlen enthalten. Erstere sind vollständig, letztere nicht.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Idee ist folgende: ich würde gern behaupten, dass auch der Zahlenstrahl mit reellen Zahlen noch Lücken hat, d.h. IR ist nicht gleich dem Kontinuum, zB in dem ich einfach Zahlen konstruiere, die zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen liegen und die ich Pippen-Zahlen nenne (nur als blödes, aber konkretes, Beispiel). Kann ich das, wenn ich die Axiome zu IR und insbesondere das Vollständigkeitsaxiom annehme oder würden die meine Pippen-Zahlen vereiteln?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst es nicht.
early Auf diesen Beitrag antworten »

Ob Pippen die Mathematik neu erfinden möchte? Diesen Eindruck habe ich manchmal. Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das glaube ich nicht, denn zum Erfinden gehört das Finden. Eher findet ein blindes Huhn ein Korn als dass Pippen etwas sinnvolles für die Mathematik im besonderen oder die Wissenschaft im allgemeinen findet. Er nennt sich gerne Hobbymathematiker, aber das meint er nicht ernst. Er macht sich immer nur lustig, scheitert aber an seiner Unzulänglichkeit. Sobald man ihn ernst nimmt, ist er nicht lustig sondern nur noch traurig.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, er ist ein stabiles Genie der Mathematik. Traurig ("So sad!"), dass diese großartige und unvergleichliche Weisheit so wenig gewürdigt wird. Augenzwinkern
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