Eigenschaften von Regelfunktionen

17.10.2019, 00:43	KoenigVonAugsburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften von Regelfunktionen Hallo, ich habe ein Problem beim Verständnis der Regelfunktionen und beim Lösen solcher Aufgaben. Erstmal die Aufgaben: $\begin{eqnarray} \begin{array}{l} {\text { Seien } f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \text { Funktionen. Zeige: }} \\ {\text { (a) Ist } f \in \mathcal{R}[a, b], \text { so auch }\|f\| \in \mathcal{R}[a, b] .} \\ {\text { (b) Ist } f \in \mathcal{R}[a, b], \text { so } \sup _{x \in[a, b]}\|f(x)\|<\infty} \\ {\text { (c) Sind } f, g \in \mathcal{R}[a, b], \text { so auch } f g \in \mathcal{R}[a, b]}\end{array} \end{eqnarray}$ Erstmal zum Verständnis. Eine Funktion f : [a, b] -> R heißt Regelfunktion, wenn es eine gleichmäßig gegen f konvergierende Folge von Treppenfunktionen auf [a, b] gibt. Eine Folge von Treppenfunktionen wir hier ja nur deshalb verwendet, um möglichst genau an f ranzukommen, richtig? Jetzt ist bei a) mein Problem, dass ich irgendwie nicht darauf komme wie bzw. wo ich den Betrag ins spiel bringe. Reicht es hier eine Folge von Treppenfunktionen zu definieren, die ja existent sein muss, da f eine Regelfunktion ist um dann folgenden Grenzwert zu bestimmen: $\begin{eqnarray} \sup _{x \in[a, b]}\|\|T_n(x)\|-\|f(x)\|\|_{n->\infty} \end{eqnarray}$ ? Zu b). Es heißt: $\begin{eqnarray} \begin{array}{l} {\text {Eine Funktion } \varphi:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \text { heißt Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung }} \\ { a=t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{n-1}<t_{n}=b} \\ {\text { des Intervalls }[a, b] \text { und Konstanten } c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n} \in \mathbb{R} \text { gibt, so dass.... }}\end{array} \end{eqnarray}$ Ist dieser Satz nicht schon die Lösung? Da es Konstanten gibt, gehe ich davon aus, dass diese nicht unendlich sind und somit kann auch die Supremumsnorm von f nicht unendlich sein oder? c) Hier fällt mir gerade leider nichts dazu ein. Wie könnte ich das zusammenbringen? Ich denke meine Probleme liegen noch bei den Definitionen. Es ist nicht so, dass ich mich nicht informiere, es gibt bloß soviel und vor allem so viel neues, dass ich gar nicht weis wo ich anfangen soll. Ich probiere meine ganzen Probleme auf eine Frage zu reduzieren: Ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ eine Regelfunktion? Ich meine sie ist es nicht in der Nähe von x = 0 . Wenn ich Recht habe, kann mir jemand erklären warum das so ist? Vielen Dank! Mfg KvA
17.10.2019, 19:31	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften von Regelfunktionen Zum Verständnis: möglichst genau an f ranzukommen ist das eine, aber man will es natürlich auch mit Funktionen tun, die nützlich sind. Für die Integration sind Treppenfunktionen z.B. sehr handlich. Aber man kann sich die Frage stellen, warum man nicht mit Polynomen approximiert (Antwort: Weil man damit nur stetige Funktionen approximieren kann und diese Klasse von Funktionen ist vielleicht zu klein) zu a) Ja, das ist die Idee, wobei mit $\begin{eqnarray} \|\,\|f(x)\|-\|T_n(x)\|\,\|\leq \| f(x)\|-T_n(x)\| \end{eqnarray}$ im Grunde alles gesagt ist. zu b) Auch da liegst du richtig. Formal würde man das wohl so anfangen $\begin{eqnarray} \\|f(x)\\|_\infty=\\|f(x)-T_n(x)+T_n(x)\\|_\infty \end{eqnarray}$ ... Dreiecksungleichung...fertig zu c) Im Grunde ist das nichts anderes als die entsprechende Aussage über Folgen $\begin{eqnarray} a_n\to a, b_n\to b \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} a_nb_n\to ab \end{eqnarray}$ . Der Beweis geht analog. zum Beispiel) Lapidar gesagt ist $\begin{eqnarray} f(x)=\frac 1 x \end{eqnarray}$ eine Regelfunktion. Du musst nur beachten, dass du per Definition $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf einem Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ betrachtest, also gar nicht beliebig nahe an die Null heran kommst.

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