Kombinatorik berechnen

17.10.2019, 23:03

Maxim210

Kombinatorik berechnen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich möchte gerne aus der Kombinatorik wissen, wie oft 1, 2, 3, .. unterschiedliche Zahlen in den Kombinationen vorkommen, wenn ich aus n Zahlen k ziehe.

Meine Ideen:
Beispiel n = 4 & k = 3 so ergeben sich vier folgende Kombinationen:
(123)
(124)
(134)
(234)

Die Formel für die Anzahl der Kombinationen ist klar (n! / k! (n-k)!)

Nun möchte ich wissen in wie vielen der obigen Kombinationen kommt eine Zahl vor bspw. die 1: in 3 Kombinationen.

Im nächsten Schritt möchte ich Wissen in wie vielen Kombinationen kommen 2 unter. Zahlen vor? Bspw. die 1 und die 2: in 4 Kombinationen.

Habt Ihr eine Ahnung wie man hierzu eine Formel aufstellt?

18.10.2019, 05:30

early

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RE: Kombinatorik berechnen
1 und 2 kommt nur in 2 Kombinationen vor.

18.10.2019, 08:58

Dopap

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mit n Elementen zur Klasse k und i Elementen von Interesse

$\begin{eqnarray*} A(n,k,i)=\binom {n-k}{k- i} \end{eqnarray*}$

Beispiel:
n= 26 Buchstaben
k= Stichprobenumfang=6
i= 3,( z.B. {X,Y,Z})

$\begin{eqnarray*} A(26,6,3)=\binom {26-6}{6- 3}=1440 \end{eqnarray*}$

1440 von 230230 "Wörtern" in alphabetischer Anordnung ohne Wiederholung enthalten die Buchstaben {X,Y,Z}. Aber auch {A,B,C} oder {Z,U,M}

18.10.2019, 09:08

HAL 9000

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Für die von dir gestellten Fragen bedarf es keiner neuen Formel: Die vorhandene Formel ist ausreichend, sie muss nur auf andere Zahlenwerte angewandt werden:

Zitat:

Original von Maxim210
Nun möchte ich wissen in wie vielen der obigen Kombinationen kommt eine Zahl vor

Wenn eine von den $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ auszuwählenden Zahlen bereits feststeht, werden nur noch $\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ frei ausgewählt, und das dann aus nur noch $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ zur Verfügung stehenden Zahlen, ergo ist diese Anzahl dann $\begin{eqnarray*} \binom{n-1}{k-1} \end{eqnarray*}$ , im Fall n=4,k=3 wäre das $\begin{eqnarray*} \binom{3}{2}=3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Maxim210
Im nächsten Schritt möchte ich Wissen in wie vielen Kombinationen kommen 2 unter.

Dasselbe in grün, d.h., es stehen bereits zwei vorab fest, das Anzahlergebnis ist dementsprechend dann $\begin{eqnarray*} \binom{n-2}{k-2} \end{eqnarray*}$ , im Fall n=4,k=3 wäre das $\begin{eqnarray*} \binom{2}{1}=2 \end{eqnarray*}$ , early hat also vollkommen recht.

Wenn du von "4 Kombinationen" sprichst, dann meinst du vielleicht die Kombinationen, in denen "1 oder 2" vorkommt (statt "und") - die Antwort lautet dann tatsächlich $\begin{eqnarray*} 2\binom{n-1}{k-1}-\binom{n-2}{k-2} = 2\cdot 3 - 2 = 4 \end{eqnarray*}$ .

@Dopap

Meinst du nicht eher $\begin{eqnarray*} A(n,k,i) = \binom{n-i}{k-i} \end{eqnarray*}$ ?

18.10.2019, 11:50

Dopap

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Zitat:

Original von HAL 9000
@Dopap
Meinst du nicht eher $\begin{eqnarray*} A(n,k,i) = \binom{n-i}{k-i} \end{eqnarray*}$ ?

Natürlich meinte ich das. Augenzwinkern

18.10.2019, 11:52

Maxim210

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Vielen Dank für die Unterstützung!

Was passiert denn, wenn ich es erweitern möchte und bilde aus einer 6 Elementigen-Menge alle Teilmenge mit 3 Elementen.

Nun möchte ich die Anzahl der Kombinationen wissen, in denen 1 oder 2 oder 3 vorkommt... Wie erweitere ich dann die von Dir vorgeschlagene Formel?

$\begin{eqnarray*} 3 * \binom{6-1}{3-1} - ?? = 3*10-??=19 \end{eqnarray*}$

18.10.2019, 14:24

HAL 9000

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Naja, ich bin oben eigentlich zu umständlich vorgegangen:

"1 oder 2 sind drin" ist das Gegenteil von "1 und 2 sind beide nicht drin", man kann das oben daher auch via $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} - \binom{n-2}{k} \end{eqnarray*}$ bestimmen, und das hier

Zitat:

Original von Maxim210
Nun möchte ich die Anzahl der Kombinationen wissen, in denen 1 oder 2 oder 3 vorkommt

entsprechend via $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} - \binom{n-3}{k} \end{eqnarray*}$ .

18.10.2019, 15:04

Maxim210

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Danke - das scheint zu funktionieren!

Folgendes Beispiel:

Ich habe eine Menge aus 5 Elementen und bilde daraus alle dreier Kombinationen. Nun möchte ich wissen in wie vielen davon die 1 oder 2 vorkommt:

$\begin{eqnarray*} = \binom{n}{k} - \binom{n-2}{k} = \binom{5}{3} - \binom{3}{3} = 9 \end{eqnarray*}$

D.h. in 9 von 10 Kombinationen kommt die 1 oder 2 vor. Diese Lösung ist richtig!

Wenn ich bei dem Beispiel nun wissen möchte, in wie vielen Kombinationen die 1 oder 2 oder 3 vorkommt, funktioniert die Formel leider nicht aufgrund von $\begin{eqnarray*} \binom{n-3}{k} = \binom{2}{3} = Keine Lösung \end{eqnarray*}$

Die richtige Lösung wäre hier allerdings 10 / 10. Gibt es hierzu auch einen Lösungsvorschlag?

18.10.2019, 15:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Maxim210
Wenn ich bei dem Beispiel nun wissen möchte, in wie vielen Kombinationen die 1 oder 2 oder 3 vorkommt, funktioniert die Formel leider nicht aufgrund von $\begin{eqnarray*} \binom{n-3}{k} = \binom{2}{3} = Keine Lösung \end{eqnarray*}$

Sie funktioniert sehr wohl, denn es ist $\begin{eqnarray*} \binom{2}{3} = 0 \end{eqnarray*}$ . Was nicht funktioniert, ist dein unzureichendes Wissen zum Binomialkoeffizienten. Augenzwinkern

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