Maßtheorie

18.10.2019, 11:46

yannik0103

Maßtheorie

Meine Frage:
Hi, ich habe folgende Aufgabe:
(a) Es sei $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ eine für alle achsenparallelen Rechtecke $\begin{eqnarray*} Q \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ (mit oder ohne eines Teils der Randpunkte) erklärte nichtnegative reellwertige Funktion mit folgenden Eigenschaften:
(i) Ist $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Q_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q_{2} \end{eqnarray*}$ zerlegt, so gilt $\begin{eqnarray*} \mu(Q) = \mu(Q_{1}) + \mu(Q_{2}) \end{eqnarray*}$ .
(ii) $\begin{eqnarray*} \mu(x+Q) = \mu(Q) \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ .
(iii) $\begin{eqnarray*} \mu([0, 1] x [0, 1]) = 1 \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} \mu([a1, b1] x [a2, b2]) = (b_{1}- a_{1})(b_{2}- a_{2}) \end{eqnarray*}$ .
Hinweis: Betrachten Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x):= \mu([0, x] x [0, 1]) \end{eqnarray*}$ , und stellen Sie eine Funktionalgleichung für f auf, aus der Sie f(x) = x folgern können.
(b) Sei $\begin{eqnarray*} \mu* \end{eqnarray*}$ das von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ induzierte äußere Maß. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \subset \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mu* \end{eqnarray*}$ -messbar ist mit $\begin{eqnarray*} \mu*(\mathbb R)=0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
(a) Die Beweisidee hab ich schon, ich wollte als erstes f(n)=n für natürliche Zahlen n zeigen, indem ich [0,n]x[0,1] in
$\begin{eqnarray*} [0,1)x[0,1] \cup [1,2)x[0,1] \cup ... \cup [n-2,n-1)x[0,1] \cup [n-1,n]x[0,1] \end{eqnarray*}$
zerlege, um dann mit (i) und (ii) $\begin{eqnarray*} f(n)= (n-1)\mu([0,1)x[0,1]) + 1 \end{eqnarray*}$ zu erhalten, allerdings weiß ich nicht wie ich zeigen soll, dass $\begin{eqnarray*} \mu([0,1)x[0,1])=1 \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn ich f(x)=x für positive rationale Zahlen zeigen will, habe ich das gleiche Problem.
(b) Hier wollte ich nur wissen, wie $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ definiert ist. Meine Vermutung ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R=[0,0]x(-\infty, \infty) \end{eqnarray*}$ , aber ich bin mir nicht ganz sicher.

18.10.2019, 17:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von yannik0103
allerdings weiß ich nicht wie ich zeigen soll, dass $\begin{eqnarray*} \mu([0,1)x[0,1])=1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Da ist nichts nachzuweisen, das ist in Punkt (iii) vorausgesetzt.

$\begin{eqnarray*} f(x):= \mu([0, x]\times [0, 1]) \end{eqnarray*}$ erfüllt offenbar die Cauchysche Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} f(x+y) = f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ , außerdem kann man ihre Stetigkeit nachweisen. Die einzigen stetigen Lösungen dieser Funktionalgleichung sind $\begin{eqnarray*} f(x) = x\cdot f(1) \end{eqnarray*}$ , und da $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ in (iii) vorausgesetzt ist...

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