Tangentengleichung an Funktion mit gegebenem Punkt

18.10.2019, 14:33

Joe066

Tangentengleichung an Funktion mit gegebenem Punkt

Meine Frage:
Vermutlich ist die folgende Frage bzw. folgende Problemstellung schon häufiger in diesem oder einem anderen Forum aufgetaucht. Nichtsdestotrotz konnte ich diese nicht finden.

Es ist gefühlte hundert Jahre her, dass ich mit Tangentengleichungen zu tun hatte. Könnte mich nun mühsamst hineinarbeiten und bei Adam und Eva neu beginnen. Um die Sache jedoch abzukürzen und in der Hoffnung, dass es hier hilfreiche Mathe"geister" gibt, würde ich es toll finden, wenn mir hier jemand so helfen könnte, dass die nachfolgende Aufgabe mit Lösungsweg dargestellt wird.

Die kleine Vorarbeit, die ich diesbezüglich geleistet habe, dass ich via GeoGebra die Lösung grafisch er"arbeitet" und als PNG-Datei hier hochgeladen habe.

Nun zur Aufgabe, bei der meine Tochter an irgendeinem Punkt nicht weiterkommt:

Stellen Sie die Tangentengleichung an f mit f(x)=Wurzel(6-x^2) vom Punkt A(3|0) auf.

Ganz arg lieben Dank im Voraus für eine idealerweise ausführliche "Step By Step"-Lösung, welche dann als Basis für ähnliche Aufgabenstellungen/Problemstellungen dienen kann.

Liebe Grüße

Joe

Meine Ideen:
Wie in der Frage dargestellt, habe ich lediglich via GeoGebra die Sache grafisch ge"löst" und als PNG-Datei diesem Thread angehängt.

Bzgl. "Tangente durch Fernpunkt" konnte ich folgende Erläuterung finden:
Ist f eine (differenzierbare) Funktion und ist B(u|f(u)) ein beliebiger Punkt auf dem Schaubild von f, dann ist die Gleichung der Tangente, die das Schaubild von f im Kurvenpunkt B(u|f(u)) berührt gegeben durch den folgenden Ausdruck:
y = f'(x) * (x-u) + f(u)

18.10.2019, 15:53

Elvis

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Step 1. Differenzieren der Funktion, dabei Kettenregel beachten.
Step 2. Erkennen, dass Ableitungen eine Geradenschar sind.
Step 3. Parameter so wählen, dass Gerade durch den Punkt (3,0) geht.

Im Grunde hast du grafisch alles richtig gemacht, mit ein wenig Differentialrechnung muss das auch gehen. Wie weit kommt deine Tochter?

18.10.2019, 16:10

bananenmilch

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Zitat:

...die das Schaubild von f im Kurvenpunkt B(u|f(u)) berührt gegeben durch den folgenden Ausdruck:
y = f'(x) * (x-u) + f(u)

Statt f '(x) muss es f '(u) für die Tangentensteigung in B lauten.

Es kommt natürlich auch darauf an in welcher Klasse deine Tochter ist.
Ohne Differentialrechnung geht es hier auch, indem man mittels $\begin{eqnarray*} \sqrt{6-x^2}=m(x-3) \end{eqnarray*}$ die passende Steigung m der Tangente ermittelt.
Dabei muss man nur dafür sorgen, dass die Gleichung genau eine Lösung (Stichwort Diskriminante) .

18.10.2019, 17:51

Leopold

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Wenn man die Funktionsgleichung $\begin{align*} y = \sqrt{6 - x^2} \end{align*}$ quadriert und umstellt, erhält man

$\begin{align*} x^2 + y^2 = 6 \end{align*}$

Man kann diese Aufgabe als reine Analysisaufgabe ansehen und mit dem Standardvorgehen lösen. Wenn man aber erkennt, daß der Funktionsgraph nichts anderes als der obere Halbkreis vom Radius $\begin{align*} \sqrt{6} \end{align*}$ mit dem Ursprung $\begin{align*} O \end{align*}$ als Mittelpunkt ist, kann man auch spezielle Eigenschaften des Kreises zur Lösung einsetzen. Da eine Kreistangente stets senkrecht auf dem Berührradius steht, ist das Dreieck $\begin{align*} OPB_1 \end{align*}$ bei $\begin{align*} B_1 \end{align*}$ rechtwinklig. Ist $\begin{align*} h \end{align*}$ in diesem Dreieck die Höhe zur Hypotenuse $\begin{align*} c=3 \end{align*}$ und sind $\begin{align*} q,p \end{align*}$ die Hypotenusenabschnitte bei $\begin{align*} O \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} P \end{align*}$ , so folgt mit $\begin{align*} b=\sqrt{6} \end{align*}$ als Kathete nach dem Kathetensatz $\begin{align*} c \cdot q = b^2 \end{align*}$ , somit also

$\begin{align*} q=2 \, , \ p=1 \end{align*}$

und nach dem Höhensatz $\begin{align*} h = \sqrt{pq} \end{align*}$ , also

$\begin{align*} h = \sqrt{2} \end{align*}$

Jetzt hat man die Katheten für ein Steigungsdreieck der Tangenten und gewinnt daraus die Tangentensteigung

$\begin{align*} m = - \frac{h}{p} = - \sqrt{2} \end{align*}$

Natürlich ist dieses Vorgehen nicht verallgemeinerbar, da es speziell auf den Kreis zugeschnitten ist. Deswegen solltest du auf jeden Fall noch den von Elvis vorgeschlagenen Weg beschreiten.

18.10.2019, 17:53

Elvis

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@bananenmilch
1. Eine Gerade hat überall die Steigung $\begin{eqnarray*} f'(x)=f'(u) \end{eqnarray*}$ .
2. Wie man aus $\begin{eqnarray*} 6-x^2=m^2(x-3)^2 \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ berechnen soll ohne $\begin{eqnarray*} x=u \end{eqnarray*}$ für den Berührpunkt zu kennen, verstehe ich nicht.

18.10.2019, 17:57

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
2. Wie man aus $\begin{eqnarray*} 6-x^2=m^2(x-3)^2 \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ berechnen soll ohne $\begin{eqnarray*} x=u \end{eqnarray*}$ für den Berührpunkt zu kennen, verstehe ich nicht.

Indem man die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung 0 setzt.

18.10.2019, 19:45

bananenmilch

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Zitat:

1. Eine Gerade hat überall die Steigung f&#8242 traurig

x)=f&#8242 traurig

u).

Dem will ich in keinster Weise widersprechen.
Es ändert jedoch nichts daran, dass in der von Joe066 am Beitragende geposteten Punkt-Steigungsform einer Tangente statt f '(x) richtigerweise f '(u) stehen muss.

Wo genau du hier Geradenscharen siehst, verstehe ich hingegen nicht.
Hast du vielleicht die Wurzel in f(x) überlesen und an eine Parabel statt einen Halbkreis gedacht ? verwirrt

Zitat:

Indem man die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung 0 setzt.

Schade, ein bisschen mehr Eigenleistung hätte ich dem Fragesteller bzw. seiner Tochter schon gegönnt.
Aber nun gut, jetzt hast du, Joe066, - eine Komplettlösung von Leopold und bei meinem Vorschlag musst du nun auch nicht mehr weiter nachdenken, nur noch zu Ende rechnen.

Viel Erfolg dabei Freude

19.10.2019, 15:33

Joe066

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Hab' mir mal die Mühe gemacht (für den Fall, dass irgendjemand eine vergleichbare Aufgabenstellung nachfragt) und die Lösung "Step by Step" in angehängter JPEG-Datei dargestellt.

Hierbei fällt auf, dass es weniger darum geht, wie man eine Tangentengleichung anwendet, sondern, dass es zwei Stolperstellen gibt, an denen man sich, wenn man es via Ableitung (Differenzieren) und somit weitestgehend allgemeingültig löst, sehr leicht verzetteln kann bzw. wo Leichtsinnsfehlergefahren bestehen oder man "hängen" bleiben kann (künftig dann nicht mehr).

Es geht also hierbei um eine Schema-F-Lösung.

Bei der Ableitung habe ich mich eines Fremdprogramms bedient (nicht weil die Ableitung schwierig wäre, sondern, weil ich die farbliche Darstellung sehr gelungen finde (für nachfolgende Fragegenerationen, denen es einfach darum geht, eine Aufgabe von Anfang bis Ende fein säuberlich und lückenlos nachvollziehen zu können).

Stolperstelle 1 ist das Erweitern beim Bestimmen der Berührstellen (Bei Schritt 4 mit "tricky" gekennzeichnet).

Stolperstelle 2 ist in Schritt 5 das ausmultiplizieren und das klammern.

Die Darstellung in GeoGebra dient abschließend nur noch der Ergebniskontrolle und ist nicht Teil der Lösung.

Liebe Grüße

Joe

19.10.2019, 17:48

Elvis

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Gut gemacht. Dass man hier mal nicht nur Fragen sondern so eine schöne Antwort sieht, ist besonders lobenswert. Was sagt die verehrte Tochter dazu ? Hat sie auch etwas beigetragen ? Weiß sie die investierte Mühe zu schätzen ?

19.10.2019, 18:44

bananenmilch

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@ Joe066

An der Stelle, wo du die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{6-u^2} \end{eqnarray*}$ multiplizierst, sollte man zum einen darauf eingehen, wann man mit Null multiplizieren würde (was keine Äquivalenzumformung wäre) und zum anderen sollte man auch irgendwo den Definitionsbereich für f(x) bzw. f(u) notieren.

Nach der 2. Zeile nach Schritt 5 könnte auch schon Schluss sein, da dort bereits die PSF der gesuchten Tangente steht.

Ein äquivalenter Ansatz für die Aufgabe ist übrigens:

Finde den Punkt B(u|f(u)) so, dass $\begin{eqnarray*} m_{PB} =\frac{y_B-y_P}{x_B-x_P}= f '(u) \end{eqnarray*}$ gilt.

19.10.2019, 21:04

Joe066

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@Elivis:
Hallo Elvis,

meine Tochter hat parallel gelöst und sich richtig angestrengt. Insofern weiß sie es zu schätzen. Für mich ist es insofern heftig, als ich mir längst verschüttetes Wissen wieder antrainieren/herleiten musste.

Liebe Grüße

Joe

@bananenmilch:
Hallo Bananenmilch,

vielen Dank für die zusätzlichen Hinweise, die ich ergänzend einbauen werde. Wird aber noch ein bisschen dauern.

Liebe Grüße

Joe

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