Faltung zweier Signale berechnen

18.10.2019, 19:07

KonverDiv

Faltung zweier Signale berechnen

Guten Abend,

ich habe zwei Signale gegeben:
$\begin{eqnarray*} x_1(t)=\begin{cases}1; 0 \lt t \lt T \\ 0; sonst.\end{cases} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2(t)=\begin{cases}t; 0 \lt t \lt 2T \\ 0; sonst.\end{cases} \end{eqnarray*}$
Das Flatungsintegral ist hierbei (es gilt ja das Kommutativgesetz):
$\begin{eqnarray*} x_2(t)*x_1(t)=\int_{-\infty }^{\infty } \! x_2(\tau)\cdot x_1(t-\tau) \, d\tau \end{eqnarray*}$
Meine Frage ist nun: Wie sehen die einzelnen Integralgrenzen aus? Wie kann man diese erkennen? ich weiß, dass sich diese Sprungfunktion (wenn man die hier so nennen kann) in das "Dreieck" hereinschiebt. Aber für mich wäre an dieser Stelle einmal eine Erklärung hilfreich, wie man die Intervalle erkennt bzw. setzt.

18.10.2019, 19:58

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} (x_2*x_1)(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x_2(\tau)x_1(t-\tau) ~ \dd\tau = \int\limits_{(0,2T)} \tau x_1(t-\tau) ~ \dd\tau = \int\limits_{(0,2T)\cap (t-T,t)} \tau ~ \dd\tau \end{eqnarray*}$ ,

die letzte Vereinfachung kommt durch Umformung von $\begin{eqnarray*} 0 < t-\tau < T \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} t-T < \tau < t \end{eqnarray*}$ zustande.

Nun ist $\begin{eqnarray*} (0,2T)\cap (t-T,t) \end{eqnarray*}$ entweder selbst ein Intervall oder aber leer, je nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Eine Fallunterscheidung bzgl. $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist angebracht, um dieses Ergebnisintervall konkret anzugeben, um damit dann das Intervall auswerten zu können.

24.11.2019, 19:53

KonverDiv

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Eine Rückfrage: Womit hast du dir das eigentlich plotten lassen?

Angenommen ich habe eine Faltung berechnet und würde das gerne überprüfen lassen (rechnerisch), kann Matlab/Maxima/(...) die Faltung Plotten, wenn ich zwei Abschnittsweise definierte Funktionen habe (nur als Beispiel). Hat hier jemand Erfahrungen?

25.11.2019, 09:46

Steffen Bühler

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Der Plotter ist unser Matheboard-Plotter. Wenn Du HALs Beitrag probehalber zitierst, siehst Du den genauen Funktionsterm.

Ich konnte mir das früher immer gut mit einer transparenten Folie veranschaulichen, auf der ich mir die zu verschiebende Funktion skizziert hatte. Die schob ich dann über ein Blatt Papier, auf dem der Graph der anderen Funktion abgebildet war.

Dann sieht man hier z.B. gut, dass die Faltung bei t=-T losgeht und bei t=2T endet. Auch die einzelnen Abschnitte werden dann klarer.

Viele Grüße
Steffen

25.11.2019, 18:12

KonverDiv

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ich konnte mir das früher immer gut mit einer transparenten Folie veranschaulichen, auf der ich mir die zu verschiebende Funktion skizziert hatte. Die schob ich dann über ein Blatt Papier, auf dem der Graph der anderen Funktion abgebildet war.

An sowas habe ich auch schon gedacht, zum Üben ist das wahrscheinlich nicht schlecht. Gibt es eigentlich eine Software, mit der ich die Faltung zweier Funktion berechnen und plotten kann?

26.11.2019, 01:22

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

An sowas habe ich auch schon gedacht, zum Üben ist das wahrscheinlich nicht schlecht. Gibt es eigentlich eine Software, mit der ich die Faltung zweier Funktion berechnen und plotten kann?

Ich habe ein kleines Matlab-Programm geschrieben, damit kann man die Faltung numerisch durchführen. Die Zeitintervalle betragen $\begin{eqnarray*} \frac{T}{1000} \end{eqnarray*}$ . Hier der Code:
function [ y ] = falt( )
% Rampe mit Rechteck falten
% f = Rampe
% g = Rechteckfunktion
% y = gefaltete Funktion
z=zeros(1,1000);
f=[z,linspace(0,2,2001),z];
g=ones(1,1000);
x=linspace(-1,3,4001);
y=zeros(1,4001);
for k=1:3000
y(k+1000) = sum(f(k:k+999).*g);
end
[attach]50097[/attach]
y = y * 0.001;
figure(1)
plot(x,y,'k-',x,f,'r-',x(1001:2000),g,'b-','Linewidth',3)
grid on
t=xlabel('$\frac{t}{T}$');
t.Interpreter='latex';
t.FontSize=22;
t=ylabel('$\frac{x}{T}$');
t.Interpreter='latex';
t.FontSize=22;
end

Dabei ist die Rampe rot, die Rechteckfunktion blau und das Ergebnis der Faltung schwarz.

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