Beweis, dass die Ungleichung für alle positiven reellen Zahlen wahr ist

18.10.2019, 19:13

Jule12345

Beweis, dass die Ungleichung für alle positiven reellen Zahlen wahr ist

Hallo,

ich soll unter anderem folgende Aussage für positive reelle Zahlen beweisen:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a²+b²}{2} } \end{eqnarray*}$

Die anderen, ähnlichen Aussagen konnte ich relativ gut mit ein bisschen Umformen und Verwendung der Binomischen Formeln beweisen, hier hänge ich aber. So sehen meine Umformungen aus:

$\begin{eqnarray*} a+b \leq \sqrt{\frac{a²+b²}{2}}\cdot2 \left(a+ b\right)²\leq a²+b² 2ab\leq 0 \end{eqnarray*}$

So, nun wird 2ab ja nicht kleiner als 0 sein, wenn die Zahlen positiv sind. Habe ich irgendwo falsch umgeformt oder ist die Aussage tatsächlich nicht wahr und in der Aufgabenstellung ist "prüfen" statt "beweisen" gemeint? Letzteres kann ich mir leider nicht vorstellen ...

Eine andere Idee wäre, dass die 0 in den positiven reellen Zahlen mit eingeschlossen ist und dass die Aussage dann ja wahr wäre, vorausgesetzt a oder b wären 0. Ist das vielleicht der Trick? Oder bin ich zu sehr von den vorherigen Aussagen beeinflusst, bei denen ich alle Summanden auf eine Seite bringen konnte, sodass sich so beweisen lies, dass diese dann größer als 0 sind?

Über Tipps würde ich mich freuen!

18.10.2019, 19:23

Leopold

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$\begin{align*} \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right)^2 = 2 \, , \ \color{red} \text{nicht} \ = 1 \end{align*}$

18.10.2019, 20:02

rumar

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RE: Beweis, dass die Ungleichung für alle positiven reellen Zahlen wahr ist
Am Beispiel dieses Beitrags zeigt sich exemplarisch, dass das LaTeX im Matheboard nicht immer korrekt arbeitet.
Mir ist schon oft negativ aufgefallen, dass die Quadratwurzelsymbole oft nicht vollständig dargestellt werden. Da fehlt der Querstrich über dem Radikanden oft einfach.

Kann sich jemand von den Moderatoren mal um dieses Problem kümmern ?

18.10.2019, 20:48

Jule12345

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right)^2 = 2 \, , \ \color{red} \text{nicht} \ = 1 \end{align*}$

Hallo, ja, das ist mir klar, aber ich verstehe nicht ganz, was mir das sagen soll. Ich finde auch in der ausführlicheren Version meiner Umformungen keine Stelle, an der ich etwas in die Richtung falsch angewendet habe. Kannst du mir da vielleicht noch einen Hinweis geben? Vielen Dank!

18.10.2019, 20:52

Jule12345

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RE: Beweis, dass die Ungleichung für alle positiven reellen Zahlen wahr ist

Zitat:

Original von rumar
Am Beispiel dieses Beitrags zeigt sich exemplarisch, dass das LaTeX im Matheboard nicht immer korrekt arbeitet.
Mir ist schon oft negativ aufgefallen, dass die Quadratwurzelsymbole oft nicht vollständig dargestellt werden. Da fehlt der Querstrich über dem Radikanden oft einfach.

Kann sich jemand von den Moderatoren mal um dieses Problem kümmern ?

Hallo,

das *2 sollte außerhalb der Wurzel stehen, falls du das meinst. Weil ja links (a+b)/2 stand. Dadurch hab ich auf der rechten Seite dann Wurzel plus Wurzel stehen. Ich hab nur die wesentlichen Schritte in LaTex eingegeben. Oder bin ich grad total doof? verwirrt

18.10.2019, 20:54

Leopold

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$\begin{align*} \color{red} \sqrt{\frac{\color{lightgrey} a^2 + b^2}{\color{red} 2}} \cdot 2 \end{align*}$ quadriert ergibt ...

18.10.2019, 20:55

Leopold

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RE: Beweis, dass die Ungleichung für alle positiven reellen Zahlen wahr ist

Zitat:

Das verstehe ich nicht. Bei mir (Microsoft Edge) wird alles korrekt angezeigt.

18.10.2019, 20:59

Jule12345

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Okay. Ja. Hab das Problem gefunden. Wurzel + Wurzel quadriert wäre ja ein Binom, was mein Unterbewusstsein der Einfachheit halber wohl gekonnt ignoriert hat. Alles nochmal auf Anfang!

18.10.2019, 21:01

Leopold

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Zitat:

Original von Jule12345
Hab das Problem gefunden. Wurzel + Wurzel quadriert wäre ja ein Binom

Dieser Satz ist mir im Zusammenhang mit deiner Rechnung und meinem Hinweis absolut unverständlich.

18.10.2019, 23:15

Jule12345

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Jule12345
Hab das Problem gefunden. Wurzel + Wurzel quadriert wäre ja ein Binom

Dieser Satz ist mir im Zusammenhang mit deiner Rechnung und meinem Hinweis absolut unverständlich.

Ja, das Problem liegt bei mir. Ich hatte beim Umformen kurz den Gedanken, dass ich, wenn ich statt Wurzel * 2 eben Wurzel + Wurzel schreiben würde, ja beide Wurzeln durchs Quadrieren wegbekommen würde, habe an der Stelle aber ignoriert, dass es ja eine Addition ist und der gesamte Term quadriert werden müsste, wodurch ja ein Binom entstehen würde. Weil ich den Zwischenschritt aber gar nicht hingeschrieben hatte, fiel mir das beim Durchsehen nicht auf.

Jetzt habe ich stattdessen das *2 quadriert und bin so zu einer Lösung gekommen.

19.10.2019, 00:41

Antezedenz

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Noch ein Kommentar: Die Umformungen sind der richtige Weg, um auf die Beweisidee zu kommen. Der Beweis sollte dann aber schlussendlich in die andere Richtung gehen - ausgehend von einer wahren Aussage zu dem gewünschten Ergebnis.

Tipp: Beginne den Beweis mit

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

19.10.2019, 09:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jule12345
Jetzt habe ich stattdessen das *2 quadriert und bin so zu einer Lösung gekommen.

Klingt so, als sei die Botschaft letztendlich doch noch angekommen. Allerdings bleibt nach deinen vorherigen Beiträgen und auch dem Anfang dieses letzten Beitrags ein erheblicher Zweifel daran, dass das auch wirklich der Fall ist - die Darstellung der entsprechenden Rechnung, die diese Restzweifel zerstreuen könnte, fehlt ja nach wie vor.

19.10.2019, 11:17

rumar

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RE: Beweis, dass die Ungleichung für alle positiven reellen Zahlen wahr ist
Nein, ich beziehe mich nur auf die (nicht ganz korrekte) Funktionalität von LaTeX hier auf matheboard.de. Das hat nichts mit deinem Beitrag zu tun. Ich denke einfach, dass das Wurzelsymbol jeweils vollständig dargestellt werden sollte.

19.10.2019, 13:24

rumar

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RE: Beweis, dass die Ungleichung für alle positiven reellen Zahlen wahr ist

Zitat:

Das verstehe ich nicht. Bei mir (Microsoft Edge) wird alles korrekt angezeigt.

Hallo Leopold
Ich habe jetzt auch festgestellt, dass auf meinem Gerät die Wurzelsymbole korrekt angezeigt werden mit Firefox. Bei Safari wird aber nur eine von 2 Wurzeln richtig geschrieben ...

19.10.2019, 21:31

Jule12345

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Jule12345
Jetzt habe ich stattdessen das *2 quadriert und bin so zu einer Lösung gekommen.

Das liegt daran, dass ich ständig Aufgaben löse und mich oft dabei verzettel. Ich glaube, ich will zu viel zu schnell. Ich bin Schülerin und jetzt gleichzeitig Frühstudentin und manchmal ist der Kopf einfach zu voll.

Hier nochmal meine fertige Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a²+b²}{2} } \\ a+b \leq \sqrt{\frac{a²+b²}{2} } \cdot 2 \\ \left(a+b\right)² \leq \frac{a²+b²}{2} \cdot 4 \\ a²+2ab+b² \leq 2a² + 2b² \\ -a²+2ab-b² \leq 0 \\ - \left(a²-2ab+b²\right) \leq 0 \\ - \left(a-b\right)² \leq 0 \\ \end{eqnarray*}$

Und dann hab ich drunter geschrieben:

Da $\begin{eqnarray*} \forall a,b\in \mathbb{R}^{+} : \left(a-b\right)²\leq 0 \end{eqnarray*}$ und diese Aussage aus der Äquivalenz zu der zu beweisenden Aussage folgt, gilt diese damit als bewiesen.

Allerdings hat jetzt ja noch jemand gepostet, dass ich mit dem Binom hätte anfangen sollen ... das werde ich mir morgen nochmal anschauen. Falls das stimmt, muss ich die ganze Beweisaufgabe nochmal neu machen ...

19.10.2019, 22:16

Leopold

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Zitat:

Original von Jule12345
Allerdings hat jetzt ja noch jemand gepostet, dass ich mit dem Binom hätte anfangen sollen

Wenn du dich darauf berufst, daß alle Umformungen Äquivalenzumformungen waren, dann, aber auch nur dann, darfst du aus der Gültigkeit der letzten Aussage auf die Gültigkeit der zu beweisenden Aussage schließen. Sich berufen heißt natürlich nicht, das einfach mal so in den Raum zu werfen, sondern man muß bei jedem Schritt schon gute Gründe anführen, warum es sich jeweils um eine Äquivalenzumformung handelt. Insbesondere ist einer der Schritte ein kritischer. Weißt du welcher?
Ganz zum Schluß ist übrigens noch ein Minuszeichen unter den Tisch gefallen. Ich vermute aber, daß es sich um einen Schreibfehler handelt. Ich hätte es übrigens vermieden, ein Binom mit einem Minuszeichen davor herzustellen, sondern so gerechnet:

$\begin{align*} a^2 + 2ab + b^2 \leq 2a^2 + 2b^2 \end{align*}$

$\begin{align*} 0 \leq a^2 - 2ab + b^2 \end{align*}$

$\begin{align*} 0 \leq (a-b)^2 \end{align*}$

Ich finde es so schöner. Letztlich ist das aber eine Frage der Ästhetik, und über Geschmack kann man ja immer streiten. Dein Vorgehen ist natürlich genau so richtig.

20.10.2019, 12:11

Jule12345

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Jule12345
Allerdings hat jetzt ja noch jemand gepostet, dass ich mit dem Binom hätte anfangen sollen

Vielen Dank für deine Antwort.
Zu der kritischen Umformung: meinst du vielleicht die, bei der ich beide Seiten quadriere? Wenn ich nach dem Schritt wieder auf beiden Seiten die Wurzel ziehen würde, hätte ich ja eigentlich zwei mögliche Fälle, nämlich einmal die Gleichung wie vorher, aber eben auch
$\begin{eqnarray*} -\left(a+ b\right) \Leftrightarrow - \left(\sqrt{\frac{a²+b²}{2} } \cdot 2\right) \end{eqnarray*}$ .

Hm, dann wäre die Äquivalenz ja wirklich falsch. Kann ich nicht vielleicht am Ende nochmal die Anfangsgleichung und mein Ergebnis mit einem Äquivalenzzeichen aufschreiben, oder wäre das wieder nur eine Behauptung?

Und ja, deine Version ist wirklich viel eleganter und einfacher. Ich habs zu kompliziert gemacht.

Vielen Dank!!

20.10.2019, 13:01

Leopold

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Zunächst einmal Gratulation, daß dir die kritische Stelle aufgefallen ist. In der Tat ist das Quadrieren einer Ungleichung ein Problem. Man könnte sagen, daß es daran liegt, daß die Funktion $\begin{align*} x \mapsto x^2 \end{align*}$ nicht über ganz $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ streng monoton wächst. Bei einer streng monoton wachsenden Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ sind die Ungleichungen $\begin{align*} A \leq B \end{align*}$ und $\begin{align*} f(A) \leq f(B) \end{align*}$ nämlich äquivalent (vorausgesetzt, daß $\begin{align*} A \end{align*}$ und $\begin{align*} B \end{align*}$ in einem Intervall liegen, über dem $\begin{align*} f \end{align*}$ definiert ist).
Jetzt sind aber in deiner Aufgabe noch zusätzliche Angaben gemacht, die es erlauben, tief durchzuatmen und zu sagen: Alles nochmal gut gegangen. Überlege, was das ist.

Deine Schlußfolgerung

Zitat:

Original von Jule12345
$\begin{eqnarray*} -\left(a+ b\right) \Leftrightarrow - \left(\sqrt{\frac{a²+b²}{2} } \cdot 2\right) \end{eqnarray*}$ .

ist nicht korrekt. Einmal davon abgesehen, daß der Äquivalenzpfeil hier unangebracht ist, ergäbe das auch sonst keinen Sinn. Ich würde mich hier auch gar nicht aufs Glatteis begeben, sondern die Voraussetzungen an $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ genau studieren, um deine gesamte Argumentation doch noch zu retten.

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