Legendrepolynome <Pn,Pn>

19.10.2019, 00:14

zuzan

Legendrepolynome <Pn,Pn>

Meine Frage:
Ich habe gerade den supertollen Workshop über orthogonale Polynome von Tigerbiene gefunden, hänge aber bei den Legendre Polynomen. Es wird behauptet:
<P_n, P_n > = 1/(2n+1).
und offensichtlich bin ich zu dumm es mir herzuleiten :/

Meine Ideen:
Ich dachte mir, da P_n orthogonal auf alle Polynome vom Grad <= n-1 ist, reicht es eig. <P_n , h_n> zu berechnen, (wobei h_n der Leitkoeffizient von P_n ist) aber auch da scheiter ich dezent..

19.10.2019, 09:41

HAL 9000

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Du redest von $\begin{eqnarray*} P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\cdot \frac{\dd^n}{\dd x^n} \left( (x^2-1)^n \right) \end{eqnarray*}$ im Zusammenhang mit Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle f,g\rangle = \int\limits_{-1}^1 f(x)g(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Dann ist aber $\begin{eqnarray*} \langle P_n,P_n\rangle = \frac{{\color{red}2}}{2n+1} \end{eqnarray*}$ . (Dass Zähler 1 nicht stimmen kann, sieht man sofort für n=0).

19.10.2019, 10:20

Huggy

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RE: Legendrepolynome <Pn,Pn>

Zitat:

Original von zuzan
<P_n, P_n > = 1/(2n+1).
und offensichtlich bin ich zu dumm es mir herzuleiten :/

Das ist auch nicht so einfach. Eine Herleitung findest du hier:

Legendre-Polynome

Beachte die Korrektur von HAL!

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Legendrepolynome <Pn,Pn>

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