Eindimensionale Poisson-Gleichung

19.10.2019, 12:25

SM!LE

Eindimensionale Poisson-Gleichung

Guten Tag,

ich hab keine so wirkliche Idee für folgende Aufgabe und wäre über einen Tipp dankbar.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die eindimensionale Variante vom Differentialoperator $\begin{eqnarray*} -\Delta \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{d^2}{dx^2} \end{eqnarray*}$ , der auf Funktionen mit Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ wirken soll.
Als Ergebnis erhalten wir eine explizite Darstellung der eindimensionalen Poisson-Gleichung.

Gegeben sei der Integraloperator A mit symmetrischem Integralkern G, wobei

$\begin{eqnarray*} (Af)(t):=\int_0^1{G(t,s)~f(s)~ds}~,~~~G(t,s):=\left\{\begin{array}{c}t(1-s)~~für~~0\leq t\leq s\leq 1\\ s(1-t)~~für~~0\leq s\leq t\leq 1\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Man rechne nach, dass für jedes stetige f durfch u(t):=(Af)(t) eine Lösung der eindimensionalen Poisson-Gleichung

$\begin{eqnarray*} -u''=f,~~~u(0)=u(1)=0 \end{eqnarray*}$

gegeben ist.

Meine Lösungsidee:

Ich muss ganz ehrlich gestehen, dass ich überhaupt keine Ahnung habe wie man das Problem am besten angeht.
Vermutlich ist die Lösung dieser Aufgabe gar nicht so schwer aber ich komm nicht drauf :/.
Ich wäre für jeden hilfreichen Tipp sehr dankbar.

Vielen Dank für Eure Mühen.

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE

19.10.2019, 13:38

Huggy

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RE: eindimensionale Poisson-Gleichung
$\begin{eqnarray*} \int_0^1{G(t,s)~f(s)~ds}=\int_0^t{G(t,s)~f(s)~ds}+\int_t^1{G(t,s)~f(s)~ds} \end{eqnarray*}$

Jetzt $\begin{eqnarray*} G(t,s) \end{eqnarray*}$ in die beiden Teilintegrale einsetzen und dann zweimal nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ableiten mit Produktregel und Hauptsatz der Diff-Int-Rechnung.

19.10.2019, 15:42

SM!LE

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Vielen Dank für deine Antwort Huggy.

Leider stehe ich immer noch im Dunkeln :/.

Darf man die Umformung die du gemacht hast prinzipiell machen wenn gilt: $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$ oder hat das was mit dem Integralkern zu tun?

Des Weiteren tue ich mir noch schwer was für ein $\begin{eqnarray*} G(t,s) \end{eqnarray*}$ ich da einsetzen muss und wieso ich 2 mal nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ableiten soll wenn die Integrationsvariable $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ist :/.
Gibt ja für G(t,s) zwei Fälle: einmal gilt: $\begin{eqnarray*} t\leq s \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} s\leq t \end{eqnarray*}$ . Woher weiß ich ob $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ größer ist oder muss ich da eine Fallunterscheidung machen?

Sorry für die Fragen aber die ganze Thematik mit Interaloperator und Integralkern verstehe ich noch nicht so recht.

19.10.2019, 16:50

Huggy

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Zitat:

Original von SM!LE
Darf man die Umformung die du gemacht hast prinzipiell machen wenn gilt: $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$ oder hat das was mit dem Integralkern zu tun?

Man kann ein Integral von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ generell an der Stelle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ aufspalten.

Zitat:

Des Weiteren tue ich mir noch schwer was für ein $\begin{eqnarray*} G(t,s) \end{eqnarray*}$ ich da einsetzen muss und wieso ich 2 mal nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ableiten soll wenn die Integrationsvariable $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ist :/.Gibt ja für G(t,s) zwei Fälle: einmal gilt: $\begin{eqnarray*} t\leq s \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} s\leq t \end{eqnarray*}$ . Woher weiß ich ob $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ größer ist oder muss ich da eine Fallunterscheidung machen?

In

$\begin{eqnarray*} \int_0^t{G(t,s)~f(s)~ds} \end{eqnarray*}$

gilt doch $\begin{eqnarray*} s \leq t \end{eqnarray*}$ und in

$\begin{eqnarray*} \int_t^1{G(t,s)~f(s)~ds} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t \leq s \end{eqnarray*}$ Entsprechend ist für $\begin{eqnarray*} G(t,s) \end{eqnarray*}$ jeweils der zugehörige Teil der Definition zu verwenden. Das Integral über $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ist doch noch von dem Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängig und definiert so $\begin{eqnarray*} u(t) \end{eqnarray*}$ . Und es soll doch gerade $\begin{eqnarray*} -u''(t)=f(t) \end{eqnarray*}$ nachgewiesen werden. Da wird man zwangsläufig zweimal nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ableiten müssen.

Zitat:

Sorry für die Fragen aber die ganze Thematik mit Interaloperator und Integralkern verstehe ich noch nicht so recht.

Diese Termini spielen für den geforderten Nachweis keine Rolle. Es ist einfach eine Funktion $\begin{eqnarray*} u(t) \end{eqnarray*}$ über ein Parameterintegral definiert.

21.10.2019, 18:22

SM!LE

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@Huggy: Danke vielmals.

Ich bin jetzt auf die korrekte Lösung gekommen.
Hatte für $\begin{eqnarray*} f(s)=-u''(s) \end{eqnarray*}$ eingesetzt und nach partieller Integration stand nur noch $\begin{eqnarray*} u(t)=u(t) \end{eqnarray*}$ da.

Du hattest ja gesagt, dass ich 2 mal ableiten soll aber da muss ich mich wohl irgendwie vertan haben.
Kannst du deinen Weg vielleicht noch in 1-2 Rechenschritten posten?

Vielen Dank für die Hilfe.

Ps.: Ich weiß allerdings immernoch nicht warum bei dem 1. Integral $\begin{eqnarray*} s\leq t \end{eqnarray*}$ und bei dem 2. Integral $\begin{eqnarray*} t\leq s \end{eqnarray*}$ ist. Kannst du da vielleicht noch kurz was zu sagen? Das erschließt sich mir noch nicht so recht.

21.10.2019, 19:50

Huggy

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Zitat:

Original von SM!LE
Ich weiß allerdings immernoch nicht warum bei dem 1. Integral $\begin{eqnarray*} s\leq t \end{eqnarray*}$ und bei dem 2. Integral $\begin{eqnarray*} t\leq s \end{eqnarray*}$ ist. Kannst du da vielleicht noch kurz was zu sagen? Das erschließt sich mir noch nicht so recht.

Da muss ich mich mal selber loben! Unter größter Selbstbeherrschung ist es mir gelungen, mein Kopfschütteln auf Ausschläge zu beschränken, die ernsthafte Verletzungen gerade noch vermeiden. Wenn man ein Integral

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b g(x)dx \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ hat, dann ist dieses Integral (ich beschränke mich mal auf das Riemannintegral) über einen Grenzwert von Riemannsummen definiert, in denen $\begin{eqnarray*} g(x_i) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a<x_i<b \end{eqnarray*}$ steht. Wenn man nun $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ersetzt und $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} [0,t] \end{eqnarray*}$ bzw. durch $\begin{eqnarray*} [t,1] \end{eqnarray*}$ ergibt sich meine Aussage.

Zitat:

Du hattest ja gesagt, dass ich 2 mal ableiten soll aber da muss ich mich wohl irgendwie vertan haben.
Kannst du deinen Weg vielleicht noch in 1-2 Rechenschritten posten?

Das könnte ich. Sinnvoller erscheint es mir aber, wenn du mal aufschreibst, wie die beiden Teilintegrale bei dir aussehen und was du zunächst mal für die erste Ableitung herausbekommst.

21.10.2019, 21:30

SM!LE

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Zitat:

Original von Huggy
...dann ist dieses Integral (ich beschränke mich mal auf das Riemannintegral) über einen Grenzwert von Riemannsummen definiert, in denen $\begin{eqnarray*} g(x_i) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a<x_i<b \end{eqnarray*}$ steht. Wenn man nun $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ersetzt und $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} [0,t] \end{eqnarray*}$ bzw. durch $\begin{eqnarray*} [t,1] \end{eqnarray*}$ ergibt sich meine Aussage.

Oha. Da stand ich aber gewaltig auf dem Schlauch. Jetzt leuchtet es mir ein aber ich habe den Zusammenhang einfach nicht gerafft. Hammer

Ich hoffe es wurden keine Schäden vom Kopfschütteln davongetragen. :/

Zitat:

Original von Huggy
Das könnte ich. Sinnvoller erscheint es mir aber, wenn du mal aufschreibst, wie die beiden Teilintegrale bei dir aussehen und was du zunächst mal für die erste Ableitung herausbekommst.

Ich hoffe das sorgt nicht wieder für Kopfschütteln:

$\begin{eqnarray*} u(t):=(Af)(t)=\int_0^t{s(1-t)~f(s)~ds}+\int_t^1{t(1-s)~f(s)~ds} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow~\left[s(1-t)\cdot F(s)\right]_{s~=~0}^t+t\cdot\int_0^t{F(s)~ds}+\left[t(1-s)\cdot F(s)\right]_{s~=~t}^1+t\cdot\int_t^1{F(s)~ds} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow~t(1-t)\cdot F(t)+t\cdot\int_0^t{F(s)~ds}-t(1-t)\cdot F(t)+t\cdot\int_t^1{F(s)~ds}~=~t\cdot\left(\int_0^t{F(s)~ds}+\int_t^1{F(s)~ds}\right)~~\big{|}~~\cdot\frac{d}{dt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow~\int_0^t{F(s)~ds}+t\cdot F(t)+\int_t^1{F(s)~ds}-t\cdot F(t)=\int_0^t{F(s)~ds}+\int_t^1{F(s)~ds} \end{eqnarray*}$

Ich denke mal, dass hier schon was falsch ist. Ist die partielle Integration am Anfang notwendig?

22.10.2019, 09:40

Huggy

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Zitat:

Original von SM!LE
$\begin{eqnarray*} u(t):=(Af)(t)=\int_0^t{s(1-t)~f(s)~ds}+\int_t^1{t(1-s)~f(s)~ds} \end{eqnarray*}$

So weit richtig. Und nach Herausziehen der nicht von der Integrationsvariablen $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ abhängigen Faktoren aus den Integralen:

$\begin{eqnarray*} u(t)=(1-t)\int_0^t{s~f(s)~ds}+t\int_t^1{(1-s)~f(s)~ds} \end{eqnarray*}$

Nach dem Hauptsatz der Diff.-Int-Rechnung gilt für eine Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit Stammfunktion $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac d {dt} \int\limits_a^t g(s)ds= \frac d {dt} G(t) =g(t) \end{eqnarray*}$

Damit und mit der Produktregel ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} u'(t)=\left (-\int\limits_0^t s f(s)ds +(1-t)tf(t) \right )+ \left (\int\limits_t^1 (1-s)f(s)ds-t(1-t)f(t) \right ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'(t)=-\int\limits_0^t s f(s)ds + \int\limits_t^1 (1-s)f(s)ds = -\int\limits_0^t s f(s)ds-\int\limits_t^1 s f(s)ds+\int\limits_t^1 f(s) ds =-\int\limits_0^1 s f(s)ds +\int\limits_t^1 f(s) ds \end{eqnarray*}$

Jetzt ist die 2. Ableitung ein Klacks, da das erste Integral gar nicht von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängt.

22.10.2019, 11:18

SM!LE

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Okay. Danke für deine Hilfe. Gott

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