Konstruktion eines Körpers mit 4 Elementen

19.10.2019, 13:51

Hannah432

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Konstruktion eines Körpers mit 4 Elementen

Meine Frage:
In seinem Buch "Lineare Alegbra" konstruiert Beutelspacher einen Körper mit vier Elementen (S. 37). Für die Addition in $\begin{eqnarray*} K_{4} \end{eqnarray*}$
folgert er, dass

$\begin{eqnarray*} 1 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ ,

da 1+1=1, 1+1=a und 1+1=a+1 auf einen Widerspruch führen.

Meine Frage nun: Inwiefern führt

$\begin{eqnarray*} 1 + 1 = a \end{eqnarray*}$

zu einem Widerspruch? Oder anders: Gegen welches Körperaxiom würde man damit verstoßen?

Meine Ideen:
Keine, leider ... Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben? Ich weiß nicht weter

19.10.2019, 13:59

Elvis

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Wie konstruiert er diesen Körper ? Als quadratische Erweiterung über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ ? Dann ist das klar, weil $\begin{eqnarray*} 1+1=0 \end{eqnarray*}$ schon im Grundkörper gilt. Man könnte auch argumentieren $\begin{eqnarray*} 1+1=a\Rightarrow 1=a-1=a+1\Rightarrow a=0 \end{eqnarray*}$ .

19.10.2019, 14:09

Hannah432

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RE: Konstruktion eines Körpers mit 4 Elementen
Danke! Aber ich verstehe nicht ganz, wie du auf

$\begin{eqnarray*} a -1 = a + 1 \end{eqnarray*}$

kommst. Welches Axiom hast du hier benutzt?

19.10.2019, 14:43

Hannah432

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RE: Konstruktion eines Körpers mit 4 Elementen
Könnte ich theoretisch auch so argumentieren:

$\begin{eqnarray*} 1 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 1 = 0 \end{eqnarray*}$

19.10.2019, 17:58

Elvis

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a) Für $\begin{eqnarray*} a-1=a+1 \end{eqnarray*}$ habe ich vermutlich $\begin{eqnarray*} -1=1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 1+1=0 \end{eqnarray*}$ benutzt. Jetzt bin ich mir nicht mehr sicher, ob ich das darf, denn genau das war ja die Behauptung.
b) Deine letzte Argumentation ist nicht gut. Wenn es so wäre, dann wäre ja $\begin{eqnarray*} 1+1=0 \end{eqnarray*}$ in jedem Körper richtig. Das gilt aber nur in Körpern der Charakteristik $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , also insbesondere in allen endlichen Körpern mit $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Elementen. Für jede andere Charakteristik ist es falsch.
c) Nochmal die Frage: Woher nimmt Beutelspacher den Körper $\begin{eqnarray*} K_4 \end{eqnarray*}$ ? Wenn man nichts über ihn weiß, kann man auch nichts über ihn beweisen.

19.10.2019, 22:11

Hannah432

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Also er schreibt, der besteht aus den Elementen $\begin{eqnarray*} 0, 1, a, a+1 \end{eqnarray*}$ .

Aber vergessen wir einmal Beutelspacher. Wie würdest du einen Körper mit 4 Elementen konstruieren?

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19.10.2019, 22:16

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[X] \end{eqnarray*}$ nach einem irreduziblen quadratischen Polynom f(X) faktorisieren, denn $\begin{eqnarray*} \mathbb F_4=\mathbb F_2[X]/(f(X)) \end{eqnarray*}$ .

19.10.2019, 22:28

Hannah432

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"irreduzibles-quadratisches- Polynom" ... so hieß doch meine Urgroßmutter verwirrt

verwirrt

Nur ein kleiner Witz; ich weiß nicht, was ein IQP ist, werde daher mit Beutelspachers Lösung Vorlieb nehmen müssen

Trotzdem danke fürs Teilen deiner Gedanken!!!! Du bist mir eine Riesenhilfe!!!

19.10.2019, 22:50

Elvis

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Ohne Faktorringe keine Körper. Auch Beutelspacher muss das irgendwie gemacht haben. Körper fallen nicht vom Himmel.

20.10.2019, 11:44

Elvis

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Mit viel Mühe kann man 2 Tafeln für die Addition aufschreiben. Mit weiteren Rechnungen erkennt man dann, dass zu einer dieser Tafeln eine Gruppentafel der Multiplikation gehört, das ergibt den gewünschten Körper. Die andere Addition erzeugt keine multiplikative Gruppe. (Das ist eher ein Sudoku-Spiel als sinnvolle Mathematik.)

20.10.2019, 14:58

duschkopf

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Zitat:

Meine Frage nun: Inwiefern führt

1+1=a

zu einem Widerspruch?

Ich finde das ist eine interessante Frage, denn zumindest für mich ist das ja gerade der springende Punkt, da die anderen Fälle sehr leicht zum Widerspruch führen.

Ein Versuch meinerseits:

Würde man auf beiden Seiten das Element a addieren, so erhielte man mit erlaubten Körperaxiomen 1+(a+1)=a+a

a+a kann nicht 1 sein, denn dann müsste a+1 gleichzeitig das neutrale Element 0 sein

a+a kann nicht a+1 sein, denn dann müsste 1=0 gelten und es gibt eben nur genau ein neutrales Element

a+a kann nicht a sein, denn dann würde ja a=0 gelten

a+a kann nicht 0 sein, denn dann wäre aus inversen Gründen a+1=-1, also wäre a+1 von der Form 1+1+...+1, was nach Konstruktion ja eben nicht sein kann (Beutelsbacher weist ein paar Zeilen vorher nochmal ausdrücklich darauf hin, dass ein Körper mit 4 Elementen - sofern existent - nicht nur aus den Elementen 0,1,1+1,1+1+1,.... bestehen kann)

Natürlich kann a+a auch kein neues Element des Körpers sein, denn mit 0,1,a und a+1 sind ja bereits alle vergeben.

Folglich muss 1+1=0 gelten, woraus sich ebenso lergibt, dass generell die Summe zweier gleicher Elemente des Körpers zu Null wird.

Macht das so Sinn oder gibt es Verbesserungsvorschläge ?

20.10.2019, 17:43

Elvis

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Zitat:

Original von duschkopf
a+a kann nicht 0 sein, ...

Doch, das kann es.

Zitat:

Original von duschkopf
Folglich muss 1+1=0 gelten, ...

Woraus folgt das ?

Nachtrag: Dein Ansatz hat Potential ... du musst ihn nur noch einmal überarbeiten.

20.10.2019, 19:23

duschkopf

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Ok, neuer Versuch für den letzten Fall:

Zitat:

Würde man auf beiden Seiten das Element a addieren, so erhielte man mit erlaubten Körperaxiomen 1+(a+1)=a+a

a+a kann nicht 1 sein, denn dann müsste a+1 gleichzeitig das neutrale Element 0 sein

a+a kann nicht a+1 sein, denn dann müsste 1=0 gelten und es gibt eben nur genau ein neutrales Element

a+a kann nicht a sein, denn dann würde ja a=0 gelten

Nach den drei ausgeschlossenen Fällen muss a+a ja Null sein, denn es gibt ja nur 4 Elemente/Möglichkeiten.
Somit wäre dann aber gleichzeitig 1+1= - a, was ein Widerspruch zur Annahme 1+1=a ist.

Damit muss dann auch insgesamt die Annahme 1+1=a falsch sein und es verbleibt nur noch die Möglichkeit, dass 1+1=0 gilt (da 1+1=1 bzw 1+1=a+1 zu den falschen Aussagen 0=1 bzw a=1 führen)

So in Ordnung ?

20.10.2019, 21:42

Elvis

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Das sehe ich immer noch nicht. 1+1=a=-a ist noch kein Widerspruch. Es gibt selbstinverse Elemente. Da muss noch ein Argument dazu kommen, deswegen habe ich mit den Gruppentafeln gerechnet.

20.10.2019, 21:46

duschkopf

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a=-a gilt doch nur falls a=0 und das kann ja hier nicht sein. verwirrt

verwirrt

20.10.2019, 21:49

Hannah432

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[X] \end{eqnarray*}$ nach einem irreduziblen quadratischen Polynom f(X) faktorisieren, denn $\begin{eqnarray*} \mathbb F_4=\mathbb F_2[X]/(f(X)) \end{eqnarray*}$ .

Könntest du das bitte etwas ausführen? Welches irreduzible quadratische Polynom meinst du? Irgendwie finde ich nichts dazu ... Kannst du bitte bitte bitte bitte bitte einmal Schritt für Schritt vorführen? Ich wäre dir unendlich dankbar

Oder mir sonst eine Seite nennen, wo das anschaulich erklärt wird?

20.10.2019, 21:51

Elvis

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@duschkopf
Nein, im Körper mit 4 Elementen gilt x=-x für jedes Element.
@Hannah432
Das wird mir zu aufwendig, denn das ist ein ganzes Kapitel "endliche Körper" in einem Algebra-Buch. Anschaulich ist da gar nichts mehr, in der Algebra wird nur gerechnet und allenfalls anschauliche Diagramme über total abstrakte Strukturen gezeichnet.

21.10.2019, 00:26

duschkopf

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Zitat:

Nach den drei ausgeschlossenen Fällen muss a+a ja Null sein, denn es gibt ja nur 4 Elemente/Möglichkeiten.

a+a=0 hieße aber gleichzeitig a(1+1)=0, was 1+1=0 bedeuten würde und ein Widerspruch zur Annahme 1+1=a wäre.

Jetzt ok oder lässt es sich einfach nicht retten ?

21.10.2019, 07:08

Elvis

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Zu viele Unwägbarkeiten, du bist unsicher, ich bin unsicher, und Hannah432 weiß auch nicht, was los ist. Da hilft wirklich nur eine saubere und vollständige Beweisführung. Hannah432, macht das jetzt und zeigt uns, was sie kann.

21.10.2019, 09:16

duschkopf

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Ihr könnt ja ruhig dann jetzt auch alleine weitermachen. smile

smile

Hannah432 interessiert mein Ansatz ja nicht.
Sie wollte ja etwas zu deinen Gedanken über Polynome lesen.

Ich wollte mich da auch nicht einmischen und werde daher im Laufe des Tages einen neuen Thread eröffnen.
Da wir beide ja etwas unsicher sind, werde ich dann versuchen, noch andere Helfer mit ins Boot zu holen.
Ggf. sage ich dir dann Bescheid, falls wir es geschafft haben - falls es dich interessiert. Wink

Wink

Viel Erfolg weiterhin in diesem Thread.

21.10.2019, 09:36

Elvis

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Danke für deine Hilfe, war nett, dass du versucht hast, Licht ins Dunkel zu bringen. Das Schöne an populärer Mathematik nach Beutelspacher ist, dass vielleicht der Eine oder die Andere an Mathematik interessiert wird. Das Unschöne an populärer Mathematik nach Beutelspacher ist, dass vielleicht manches schwieriger wird, wenn man nicht genau sagen kann, was man weiß und was man will.

Mein Zugang über irreduzible quadratische Polynome über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ : Es gibt nur die quadratischen Polynome $\begin{eqnarray*} x^2,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ , die ersten 3 haben Nullstellen, nur das letzte nicht, das ist also irreduzibel, und mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} x^2+x+1=0 \end{eqnarray*}$ erzwingt man eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^2=a+1 \end{eqnarray*}$ . In der additiven Gruppe muss entweder $\begin{eqnarray*} 1+1=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1+1=a \end{eqnarray*}$ sein, daraus folgt in der multiplikativen Gruppe $\begin{eqnarray*} a^2=a+1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a^2=1 \end{eqnarray*}$ . Also ist die Frage entschieden, und der Körper mit 4 Elementen ist vollständig bestimmt.

Dieselbe Argumentation geht problemlos durch, wenn man weder $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ noch die Erweiterung endlicher Körper durch Adjunktion von Nullstellen irreduzibler Polynome kennt. Dann kann man meinen obigen Vorschlag aufgreifen und rein formal Gruppentafeln soweit ausfüllen wie möglich. Man trifft dann auch irgendwann auf die beiden Fälle $\begin{eqnarray*} 1+1=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1+1=a \end{eqnarray*}$ . Im ersten Fall ergibt sich eine multiplikative Gruppentafel, im zweiten Falle nicht.

22.10.2019, 15:24

Hannah432

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Danke, Elvis!

Aber dann setzt du ja voraus, dass jedes Element sein eigenes additiv Inverses ist. Woher aber wissen wir das?

22.10.2019, 15:57

Hannah432

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Kann ich nicht einfach sagen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2} \end{eqnarray*}$ ein Unterkörper von dem Körper ist, den wir konstruieren wollen, und deshalb $\begin{eqnarray*} 1 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ , denn schließlich gilt das ja auch in F2

22.10.2019, 16:08

Hannah432

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Omg, ich glaube, ich weiß jetzt, warum $\begin{eqnarray*} 1 + 1 \neq a \end{eqnarray*}$ ist. Denn sei $\begin{eqnarray*} 1 + 1 = a \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} a + 1 = a + 1 + 1 + 1 \end{eqnarray*}$ , so dass wir den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/ 4 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ hätten, der ja bekanntermaßen kein Körper ist

Was meint ihr?

22.10.2019, 16:16

Hannah432

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Beutelspacher schreibt:

"Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/ 4 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ kein Körper ist. Das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ - falls ein solcher Körper existiert, nicht nur aus den Elementen 0, 1, 1+1, 1+1+1, ... bestehen kann. Es muss also ein Element $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ geben, das nicht von der Form 0, 1, 1+1 , .... ist. "

Ich glaube, das ist, wonach wir gesucht haben.

22.10.2019, 18:33

Hannah432

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Oh Mann, eigentlich ist es so einfach:

a kann nicht 1+1 sein. Denn dann hätten wir die Elemente 0, 1, 1+1, 1+1+1 und somit $\begin{eqnarray*} Z_{4} \end{eqnarray*}$ , von dem wir wissen, dass er kein Körper ist

22.10.2019, 18:45

Elvis

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Ja. Übrigens hatte ich nichts vorausgesetzt, ich hatte mich ganz dumm gestellt und bin trotzdem zum Ziel gekommen.

22.10.2019, 19:02

Hannah432

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Ja, dein Ansatz erscheint mir auf jeden Fall der eleganteste, auch wenn ich ihn noch nicht ganz durchdrungen hab.

Meinst du nicht eigentlich, dass wir eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^{2} = \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} (a+1) \end{eqnarray*}$ erzwingen?

22.10.2019, 20:00

Elvis

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+ und - ist wegen 1+1=0 dasselbe. Die Adjunktion von Nullstellen irreduzibler Polynome ist seit Leopold Kronecker der Standard in der Algebra. Ich habe da einen kleinen zeitlichen Vorsprung, aber du kommst ganz sicher noch dahinter, wie das funktioniert. Ein bißchen Ringtheorie, Idealtheorie und Quotientenringe, ein bißchen Polynome über Körpern, und schon klappt's.

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