Jede holomorphe Funktion C->H ist konstant

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19.10.2019, 14:05	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede holomorphe Funktion C->H ist konstant Hallo Leute, ich soll folgendes zeigen: Jede holomorphe Abbildung $\begin{eqnarray} f: \mathbb C \rightarrow \mathbb H :=\left\{z : Im(z) > 0\right\} \end{eqnarray}$ ist konstant. Ich habe leider noch kein wirkliches Verständnis für dieses Gebiet. Meine erste Idee war der Satz von Liouville, aber der Betrag der Funktionswerte kann ja durchaus beliebig groß werden Kann mir einer die Richtung zeigen?
19.10.2019, 15:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jede holomorphe Funktion C->H ist konstant Betrachte $\begin{eqnarray} f(z)+i \end{eqnarray}$
19.10.2019, 16:13	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
So leid es mir tut aber ich weiß beim besten willen nicht wie mir dsa hilft
19.10.2019, 16:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Hätte ja sein können Dann also der Reihe nach: Liouville ist die richtige Idee Ob f beschränkt ist, weiß man nicht, wir brauchen also eine andere ganze und beschränkte Funktion. $\begin{eqnarray} 1/f \end{eqnarray}$ wäre da ein Kandidat, wenn es denn definiert ist (sprich f keine Nullstellen hat) und darüber hinaus auch $\begin{eqnarray} \|1/f\| <M \end{eqnarray}$ für ein gewisses M ist. Denn dann wäre $\begin{eqnarray} 1/f \end{eqnarray}$ konstant und damit auch $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Die Ungleichung bedeutet aber $\begin{eqnarray} 1/M<\|f\| \end{eqnarray}$ (und dann wäre $\begin{eqnarray} 1/f \end{eqnarray}$ automatisch wirklich immer definiert). Das hilft auf den ersten Blick nicht weiter, weil wir nur wissen, dass $\begin{eqnarray} Im(f(z))>0 \end{eqnarray}$ ist, und damit kann $\begin{eqnarray} \|f\| \end{eqnarray}$ beliebig nahe an Null heran kommen. Schaffst du von hier aus den Sprung zu $\begin{eqnarray} f(z)+i \end{eqnarray}$ ?
19.10.2019, 17:35	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Also an 1/f habe ich bei Liouville auch gedacht. Aber das scheiterte für mich genau daran, dass ich eben nicht weiß, ob f beschränkt ist oder Nullstellen hat. Deinen Ausführungen kann ich auch folgen, aber den Sprung zu f(z) + i, da sehe ich ehrlich gar keinen Zusammenhang hin.
19.10.2019, 17:43	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \|f(z)+i\|>1 \end{eqnarray}$ (warum?) Klappt es jetzt?
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19.10.2019, 17:53	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi URL also du ärgerst dich bestimmt das ich so auf der Leitung stehe, aber es ist leider so Klar, ich weiß $\begin{eqnarray} Im(f(z))>0 \Rightarrow Im( (f(z(+i) ) > 1 \Rightarrow \|f(z)+i\| > 1 \end{eqnarray}$ . Ich sehe nur nicht den ZUsammenhang. Mich stört immernoch, dass ich über f nichts weiß
19.10.2019, 17:56	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze $\begin{eqnarray} g(z):=f(z)+i \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} 1/g \end{eqnarray}$ eine ganze, beschränkte und damit konstanten Funktion. Dann ist auch g und dann auch f konstant.
19.10.2019, 18:00	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh, ok... Ja, wenn ich die Lösung so sehe, kann ich sie sicherlich nachvollziehen. Aber das ist eine der Lösungen wo ich mich frage, welchen Gedanken muss ich haben, damit ich diesen Weg einschlage? Klar, ich muss das umsetzen was wir gelernt haben, aber diese Art löst man doch nur mit der Erfahrung, die du sicherlich hast. Ich danke dir ganz vielmals und fürchte, dass ich noch mehrere dieser Threads eröffnen werde
19.10.2019, 18:07	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Erfahrung ist das Wissen, das man hat, nachdem man es gebraucht hätte Die Aufgabe war nicht einfach. Das sieht man schon daran, dass man mit der gleichen Beweisidee zeigen kann, dass für eine ganze, nicht konstante Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} f(\mathbb{C}) \end{eqnarray}$ dicht in $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ liegt. Mehr Threads sind kein Problem. Nicht verzagen, matheboard fragen..oder so ähnlich
19.10.2019, 18:10	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke sehr LG Maren
19.10.2019, 18:12	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du schreibst es doch selbst: Fragen? Fragen!
19.10.2019, 18:18	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist wohl richtig und so sehe ich es auch. Allerdings weiß ich auch das es schwierig sein kann, einen Tipp zu geben, den man selbst einschätzt als "Das ist doch nun schon nah an der Lösung". Der Tippnehmer (ich in diesem Falle) ist dann damit trotzdem noch überfordert oder hat vielleicht seinen/ ihren (in diesem Falle ) Blick noch nicht wirklich in die Richtung gewandt. Deshalb denk ich mir immer: "Wenn ich jetzt immernoch nicht weiß, dann lerne ich auch nichts" ist vielleicht auch die falsche Einstellung Aber hier hat es ja doch ein sehr gutes Ende genommen :-*
20.10.2019, 14:15	KeinGastMehr	Auf diesen Beitrag antworten »
Da jetzt bereits eine Lösung gefunden wurde, schlage ich noch eine Alternative vor. Man kann nachrechnen, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} g \colon \mathbb H \to \mathbb D = \{ z \in \mathbb C \, \| \, \|z\| \leq 1 \} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} z \mapsto \frac{z-i}{z+i} \end{eqnarray}$ holomorph, wohldefiniert und bijektiv ist. Man betrachte nun die holomorphe Abbildung $\begin{eqnarray} g \circ f \colon \mathbb C \to \mathbb D \end{eqnarray}$ . Da ihr Bild in der Einheitskreisscheibe $\begin{eqnarray} \mathbb D \end{eqnarray}$ enthalten ist (das ist eine beschränkte Menge), ist $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ beschränkt und nach dem Satz von Liouville dann auch konstant. Es gilt also, dass $\begin{eqnarray} g \circ f \equiv z_0 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} z_0 \in \mathbb D \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ bijektiv ist, folgt nun $\begin{eqnarray} f \equiv g^{-1}(z_0) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist konstant.

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