Endlicher Primzahlkörper

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LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »
Endlicher Primzahlkörper
Meine Frage:
Es heißt:

Sei eine Primzahl und sei der endliche Primzahlkörper mit Elementen. Wir definieren auf folgende Verknüpfungen:







Zeigen Sie:

(a) Ist , so ist mit dieser Addition und Multiplikation ein Körper.

(b) Ist , so ist mit dieser Addition und Multiplikation kein Körper.

Meine Ideen:
Besteht für der Körper aus den Elementen ?


Wenn ja, dann hätte ich vielleicht eine Idee

Vielen Dank für eure Zeit und Hilfe smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Körper heißen Primkörper, nicht Primzahlkörper. Ihre Elemente sind keine ganzen Zahlen sondern Restklassen, aber wenn du das weißt, darfst du symbolisch ganze Zahlen statt Restklassen schreiben. Ein Körper mit Elementen ist immer der für jede Primzahl .
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Wie würdest du nun an die Aufgabe herangehen? Was würdest zuerst tun? Mir fehlt so ein bisschen der Ansatz traurig
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde die neu definierten Rechenarten Addition und Multiplikation benutzen, um alle Körperaxiome zu beweisen (a) und ein Körperaxiom zu widerlegen (b). (a) ist etwas mühsam, das ist also eine schöne Übung. (b) ist leicht, wenn man eine Idee hat. Wer MathematikerIn werden möchte scheut weder mühevolle Arbeit (a) noch kluge Ideen (b), denn beides fördert nützliche Attribute der MathematikerIn. Tipp: Die Mühe bei (a) wird bestimmt mit einer guten Idee für (b) belohnt, denn die Kreativität ist oft eine Folge von Arbeit. Einstein hat die allgemeine Relativitätstheorie 1905 veröffentlicht und die spezielle Relativitätstheorie 10 Jahre später, so was fällt einem nicht nebenbei ein, da steckt Arbeit und Kreativität drin (Arbeit+Kreativität=Genie).
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da hast du auf jeden Fall recht! Danke!

Für (a) muss ich ja auch zeigen, dass es ein additives und multiplikativ neutrales Element gibt; soll ich dafür einfach eines der drei Elemente als neutrales Element festlegen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz deutlich ja und nein. Der Körper soll als Elemente Paare von Restklassen haben. Also ist offensichtlichst das Nullelement gleich , denn für alle
 
 
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, ja, das wusste ich natürlich, war nur ein Test Augenzwinkern



Spaß beiseite: Vielen dank! Dann sind also (neutrales Element bzgl. Addition) und (neutrales Element bzgl. Multiplikation) schon einmal zwei der Elemente?

Aber wie beweise ich, dass es die gibt? Oder kann ich deren Existenz voraussetzen?


Und außerdem muss ich beweisen:


- Kommutativität der Additionsverknüpfung

- Assoziativität der Multiplikation

- Distributivgesetz

- jedes Element von besitzt ein multiplikatives Inverses

- Multiplikative Verknüpfung ist kommutativ,


richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dies ist nicht dein Tag, oder ?
Du kannst nicht nur (1,0) Eins nennen, du musst beweisen, dass (1,0) Eins ist. Ich habe bewiesen, dass (0,0) Null ist.
Wenn k 3 bzw. 5 Elemente hat, wieviele hat dann kxk ?
Außerdem muss man alle Axiome beweisen und nicht nur ein paar davon.
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, heute ist echt nicht mein Tag, sorry traurig

Dann hat kxk 9 bzw. 25 Elemente.

Nochmal zu (0,0) und (1,0). Wenn ich zeige, dass die beiden jeweils die Eigenschaften eines neutralen Elements erfüllen, dann habe ich damit gezeigt, dass es ein additiv bzw. multiplikativ neutrales Element gibt, richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Damit du einen guten Start hast, habe ich schon alles für (0,0) sauber aufgeschrieben. Daraus solltest du lernen und es für (1,0) genau so machen. Wenn das neutrale Elemente sind, dann sind das neutrale Elemente. Ja klar, ein Pferd ist ein Pferd. Augenzwinkern
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

merci beaucouo mon cher!


Aber wie verhält es sich denn jetzt


1. Es ist immer schon und wir beweisen lediglich, dass es sich bei diesen beiden Elementen von k×k um neutrale Elemente handelt


oder


2. Wir zeigen, dass neutrale Elemente bzgl. der definierten Verknüpfungen sind, und folgern daraus dann, dass



Was trifft zu 1. oder 2. ? 1. ist richtig, oder?
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Oder anders gefragt: Wissen wir, dass oder ist das zu beweisen?
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin so blöd, meine natürlich *
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die liegen in kxk. Das ist nicht zu bezweifeln.
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Cool, danke! Ist sonst noch etwas über die Elemente in k×k bekannt? Außer, dass es 9 bzw. 25 sind?


Außerdem kann man beweisen, dass das additiv Inverse ist, oder?


Aber was ist das multiplikativ Inverse, hast du eine Idee?
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, hab mich vertan, das additiv Inverse ist , oder? Aber was ist bloß das multiplikativ Inverse?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, ob du die klassische Konstruktion des Körpers der komplexen Zahlen aus dem Körper der reellen Zahlen kennst. Ich gehe jetzt einmal davon aus. Wenn du dir die Definition der Multiplikation dort anschaust, wirst du die Übereinstimmung mit der Definition hier in erkennen. Um also das multiplikative Inverse zu finden, kannst du auch genau so wie in vorgehen. Stichworte: konjugiert komplexe Zahl, dritte binomische Formel. Wie geht das also hier?
Du kannst natürlich auch jederzeit versuchen, aus dem Ansatz durch Lösen eines linearen Gleichungssystem in Abhängigkeit von zu bestimmen.
Daß man für zu einem Körper kommt, für jedoch nicht, liegt daran, daß das Polynom über irreduzibel ist, über jedoch nicht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nicht raten, du musst rechnen. Benutze die Gleichungen, mit denen Addition und Multiplikation definiert werden, setze die neutralen Elemente ein und löse die Gleichungen auf. Dann hast du die inversen Elemente berechnet und auch bewiesen, dass es zu jedem Element ein inverses Element gibt. Mathematik macht man mit Papier und Stift, nicht nur im Kopf.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, Leopold, das ist wieder ein sehr guter Beitrag von Dir.
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke für eure Hilfe! Nur noch eine Verständnisfrage, bevor ich mich ans Rechnen mache: Das +

in




steht doch für ,


und nicht für "normale" Addition, oder?
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke für eure Hilfe, Leopold und Elvis!!!! Nur noch eine Verständnisfrage, bevor ich mich ans Rechnen mache: Das +

in

+ +


steht doch für ,


und nicht für "normale" Addition, oder?
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke für eure Hilfe, Leopold und Elvis!!!! Nur noch eine Verständnisfrage, bevor ich mich ans Rechnen mache: Das +

in

+ +


steht doch für ,


und nicht für "normale" Addition, oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Grundrechenarten in der Klammer auf der rechten Seite sind selbstverständlich in zu sehen, also modulo 3 bzw. modulo 5. Das ist aber für die Beweise völlig egal, denn den Variablen sieht man nicht an, aus welchem Körper sie kommen, und die Rechenregeln gelten in jedem Körper.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das + und das · stehen für die entsprechenden Operationen in . Und wenn der Körper der Restklassen modulo ist, dann stehen sie auch für die Addition und Multiplikation modulo .
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann ist das additiv Inverse für das Tupel , wie ich rechnerisch festgestellt habe smile Danke euch!

Dann wende ich mich mal dem multiplikativ Inversen zu!
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ich weiß nicht, ob du die klassische Konstruktion des Körpers der komplexen Zahlen aus dem Körper der reellen Zahlen kennst. Ich gehe jetzt einmal davon aus. Wenn du dir die Definition der Multiplikation dort anschaust, wirst du die Übereinstimmung mit der Definition hier in erkennen. Um also das multiplikative Inverse zu finden, kannst du auch genau so wie in vorgehen. Stichworte: konjugiert komplexe Zahl, dritte binomische Formel. Wie geht das also hier?
Du kannst natürlich auch jederzeit versuchen, aus dem Ansatz durch Lösen eines linearen Gleichungssystem in Abhängigkeit von zu bestimmen.
Daß man für zu einem Körper kommt, für jedoch nicht, liegt daran, daß das Polynom über irreduzibel ist, über jedoch nicht.



Vielen Dank! Aber: Woher weißt du, dass wir das Polynom betrachten müssen und kein anderes?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist das Polynom, das aus den reellen Zahlen die komplexen Zahlen macht.
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke,

und indem ich zeige, dass dieses Polynom über nicht irreduzibel ist, zeige ich was genau? Dass F5 =/= C und deshalb kein Körper ist?


Und: Mein additive Inverses ist doch richtig, oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du Leopolds schlauen Hinweis nicht verstehst, musst du rechnen rechnen rechnen beweisen beweisen beweisen arbeiten arbeiten arbeiten denken denken denken. Nichts ist umsonst.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Löse das lineare Gleichungssystem in , das du aus erhältst. Die Rechnung verläuft in und analog. Irgendwann in der Rechnung wirst du an eine Stelle kommen, wo du gerne durch dividieren würdest. Nun darf man bekanntlich nicht durch 0 dividieren. In kann nun dieser Term nur im trivialen Fall 0 werden, in aber auch in nichttrivialen Fällen. Das ist das Problem. Es zeigt dir auch, wie du in leicht ein Element finden kannst, das kein multiplikatives Inverses besitzt, oder etwas anschaulicher ausgedrückt: durch das man nicht dividieren kann.
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, vielen Dank, Leopold! Aber nur damit wir jetzt alle auf einer Seite sind.


Wie würdet ihr das neutrale Element für definieren, als

oder einfach als mit der Festlegung, dass -a das additiv Inverse von a und -b das von b ist?


Danke, dass ihr mir schon so viel geholfen habt!!!!! smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht immer so hin und her bei dir. Warum kommst du jetzt wieder mit dem additiven Inversen, wo es doch längst klar sein sollte, daß die Multiplikation in das Interessante und Entscheidende ist? Bitte bleib bei der Sache und beantworte die folgende Fragen:

1. Was ist das multiplikative Inverse von , wenn ist?

2. Warum ist kein Körper, wenn ist?

Ich habe den Eindruck, du willst den Schwierigkeiten aus dem Weg gehen und drückst dich um die nötige Denk- und Rechenarbeit. Das nützt dir aber nichts, denn wenn du dich den Problemen nicht stellst, dann werden sie dich überwältigen.

(Ob du oder sagst, bleibt sich gleich. Denn in gilt , von mir aus auch oder , das ist alles dasselbe. Puristen könnten einwenden, daß ja nicht die Repräsentanten dieselben sind, sondern die Restklassen, also so etwas wie . Stimmt. Denen entgegen wir, daß wir das natürlich wissen, nur aus Bequemlichkeit auf die Überstreichung verzichten. Wir sind ja nicht blöd.)
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, Leopold! Ich habe mich jetzt der Aufgabe gestellt, der Nachweis des multiplikativ Inversen für ist ja letztlich so wie der Beweis für , wie du auch angedeutet hast.

Und ich verstehe jetzt auch, was dein Hinweis bedeutet. Zur Bestimmung des multiplikativ Inverse führen wir ja (ich zumindest) eine Fallunterscheidung durch: und .


Im Fall kommt man dann an eine Stelle, an der man durch teilen will, wie du gesagt hast. Das geht für prima, denn hier ist nur dann gleich , wenn . Da dies jedoch laut Voraussetzung nicht möglich ist, können wir durch teilen.


Da in zum Beispiel auch ist, lässt sich hier kein multiplikativ Inverses ermitteln. Folglich ist für p = 5 kein Körper.


Ich habe mir das jetzt anhand der Additions- und Multiplikationstabellen veranschaulicht, aber ich nehme mal an, man sollte besser formal zeigen, dass in mehrere Nullstellen besitzt?
Das hatten wir zwar noch nicht, aber ich lese mich gerne ein. Könntest du mir ein Stichwort nennen, den Namen eines Verfahrens oder so? Würde mir das dann anschauen


Aud jeden Fall ein großes Danke von meiner Seite!!!! smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

in ist formal genug.
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, Elvis ! smile Hast recht, hätte mir die Tabellen nicht einmal angucken brauchen, man kann auch so draufkommen, man muss ja nur ein bisschen rückwärtsargumentieren und ein bisschen mit dem modulo rumspielen
LeonaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Aber der erste Teil der Aufgabe ist ja wohl mega aufwendig, man muss ja auch beweisen, dass das Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz für die - Operation gilt ...

Vielleicht dürfen wir das aich o.B.d.A. annehmen, je sais pas
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir dürfen nichts annehmen, wir müssen alles beweisen. Besonders dann, wenn wir etwas lernen wollen, müssen wir extrem fleißig sein. Wer nur darauf vertraut, dass alles schon vor 150 Jahren berechnet wurde wird nie etwas neues schaffen.
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